15. Понятия производного. Дифференцируемость функции.

Пусть y=f(x): X.Возьмем х0#1013;Х и предадим ему некотрое приращение #8710;х#8800;0, тогда ф-ия у=f(x) получит приращение #8710;y=f(x0+#8710;x)-f(x0)

Производной функции у=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента,при стремлении последнего к нулю,если этот предел существует.Обознач: y’, y’(x),

По опред-ю: .Тогда из зад 1,что коэф наклона касат -в этом заключается геометрический смысл производной.

Из зад2,что -в этом заключ механический смысл производной

Процесс нахождения производной – дифференцуемость.

Если в точке х0 функция имеет конечную производную, то она в той точке называются дифференцируемой.

Теорема: Если ф-ия y=f(x) дифференцуема,то она непрерывна в этой точке.

Док-во: Из дифференцуемости т.х0, что конечный предел ,где f’(x0) постоянная величина,не зависящая от #8710;х.

Тогда по теореме о связи бесконечно малых величин с пределами функции можно записать.

#8710;у/#8710;х= f’(х0)+#945;(#8710;х) #945;(#8710;х)б.м.#8710;x

#8710;у=f’(х0)х+#945;(#8710;х)х (*)

Отсюда видим,что #8710;х0,#8710;у0,что означает непрерывность функции.

Замечание1: Т.о. из дифференцируемости ее непрерывность,обратное неверно. Это значит,что непрерывность функции является необходимым но недостаточным условием дифференцируемости ф-ий.

Замечание 2: Как видно из доказательства теоремы (*) в случае дифференцируемости ф-ии ее полное приращение (*) может быть представлена в виде: #8710;у=f(х0) #8710;х+0(#8710;х)

Слагаемое f(х0)#8710;х назыв главной линейной частью приращения функции или дифференциалом ф-ии.

Геометрич смысл дифференциала-это приращение ординаты касательной.