Дифференцируемые функции
Рассмотрим функцию , определенную на промежутке со значениями .
Пусть ‑ внутренняя точка промежутка , ‑ значение функции в точке . Возьмем число такое, что . Величину называют приращением аргумента . Величину называют приращением функции в точке , которое вызвано приращением аргумента .Если для точки существует число такое, что приращение функции представимо в виде:
, | (1) |
то говорят, что функция дифференцируема в точке .
Число называют производной функции в точке . Из формулы (1) получаем:.
Таким образом, дифференцируемость функции в точке означает, что в этой точке существует производная функции. Производную функции в точке обозначают одним из символов:
и др.
Отношение представляет собой среднюю скорость изменения функции на промежутке с концами и . Величина ‑ это мгновенная скорость изменения функции в точке . Например, если ‑ перемещение точки по оси за время , то ‑ скорость движения точки. Если функция описывает количество продукции, производимой предприятием за время , то ‑ это средняя производительность за промежуток времени , а ‑ это производительность в момент времени .
Если функция описывает закон изменения капитала в зависимости от времени , то ‑ скорость накопления капитала.Итак, если дифференцируема в точке , то
.
Величину называют дифференциалом функции в точке и обозначают обычно символами:
и др. 1.2 Правила дифференцирования
Будем считать, что функции дифференцируемы, т.е. имеют производные . Тогда:
1°. Функция дифференцируема и .
2°. Если ‑ постоянная, то функция дифференцируема и .
3°. Из 1° и 2° следует, что .
4°. Функция дифференцируема и .
5°. Из 4° следует, что .
6°. Если определена и дифференцируема, то .
1.3 Таблица производныхОсновные элементарные функции дифференцируемы всюду, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е. по формуле:
и с помощью правил дифференцирования.
Полученные значения производных основных элементарных функций приведем в таблице.
; | ; |
; | ; |
; | |
; | ; |
, ; | ; |
; | ; |
, ; | ; |
; | . |
Использование таблицы производных и правил дифференцирования позволяет вычислять производные арифметических комбинаций основных элементарных функций.
Пример 1. . Вычислить .
.
Пример 2. . Вычислить .
.
Пример 3. . Вычислить .
.