Дифференцируемые функции

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке со значениями .

Если для точки существует число такое, что приращение функции представимо в виде:

,

(1)

то говорят, что функция дифференцируема в точке .

.

Таким образом, дифференцируемость функции в точке означает, что в этой точке существует производная функции. Производную функции в точке обозначают одним из символов:

и др.

Отношение представляет собой среднюю скорость изменения функции на промежутке с концами и . Величина ‑ это мгновенная скорость изменения функции в точке . Например, если ‑ перемещение точки по оси за время , то ‑ скорость движения точки. Если функция описывает количество продукции, производимой предприятием за время , то ‑ это средняя производительность за промежуток времени , а ‑ это производительность в момент времени .

Итак, если дифференцируема в точке , то

.

Величину называют дифференциалом функции в точке и обозначают обычно символами:

и др. 1.2 Правила дифференцирования

Будем считать, что функции дифференцируемы, т.е. имеют производные . Тогда:

1°. Функция дифференцируема и .

2°. Если ‑ постоянная, то функция дифференцируема и .

3°. Из 1° и 2° следует, что .

4°. Функция дифференцируема и .

5°. Из 4° следует, что .

6°. Если определена и дифференцируема, то .

Основные элементарные функции дифференцируемы всюду, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е. по формуле:

и с помощью правил дифференцирования.

Полученные значения производных основных элементарных функций приведем в таблице.

;	;
;	;
	;
;	;
, ;	;
;	;
, ;	;
;	.

Использование таблицы производных и правил дифференцирования позволяет вычислять производные арифметических комбинаций основных элементарных функций.

Пример 1. . Вычислить .

.

Пример 2. . Вычислить .

.

Пример 3. . Вычислить .

.