<<
>>

Дифференцируемые функции

1.1 Основные понятия

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке со значениями .

Пусть ‑ внутренняя точка промежутка , ‑ значение функции в точке . Возьмем число такое, что . Величину называют приращением аргумента . Величину называют приращением функции в точке , которое вызвано приращением аргумента .

Если для точки существует число такое, что приращение функции представимо в виде:

, (1)

то говорят, что функция дифференцируема в точке .

Число называют производной функции в точке . Из формулы (1) получаем:

.

Таким образом, дифференцируемость функции в точке означает, что в этой точке существует производная функции. Производную функции в точке обозначают одним из символов:

и др.

Отношение представляет собой среднюю скорость изменения функции на промежутке с концами и . Величина ‑ это мгновенная скорость изменения функции в точке . Например, если ‑ перемещение точки по оси за время , то ‑ скорость движения точки. Если функция описывает количество продукции, производимой предприятием за время , то ‑ это средняя производительность за промежуток времени , а ‑ это производительность в момент времени .

Если функция описывает закон изменения капитала в зависимости от времени , то ‑ скорость накопления капитала.

Итак, если дифференцируема в точке , то

.

Величину называют дифференциалом функции в точке и обозначают обычно символами:

и др. 1.2 Правила дифференцирования

Будем считать, что функции дифференцируемы, т.е. имеют производные . Тогда:

1°. Функция дифференцируема и .

2°. Если ‑ постоянная, то функция дифференцируема и .

3°. Из 1° и 2° следует, что .

4°. Функция дифференцируема и .

5°. Из 4° следует, что .

6°. Если определена и дифференцируема, то .

1.3 Таблица производных

Основные элементарные функции дифференцируемы всюду, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е. по формуле:

и с помощью правил дифференцирования.

Полученные значения производных основных элементарных функций приведем в таблице.

; ;
; ;
;
; ;
, ; ;
; ;
, ; ;
; .

Использование таблицы производных и правил дифференцирования позволяет вычислять производные арифметических комбинаций основных элементарных функций.

Пример 1. . Вычислить .

.

Пример 2. . Вычислить .

.

Пример 3. . Вычислить .

.

<< | >>
Источник: Гринберг А.С., Кастрица О.А., Скуратович Е.А.. Высшая математика. Курс лекций. Часть II: Курс лекций. ‑ Мн.:Академия управления при Президенте Республики Беларусь,2003. – 213 с.. 2003

Еще по теме Дифференцируемые функции:

  1. § 19, Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл
  2. §21. Производная сложной функции
  3. § 23. Про и ав одная обратной функции
  4. § 25- Дифференциал функции
  5. § 53. Экстремум функции нескольких переменных
  6. СПЛАЙН-ФУНКЦИИ
  7. 3.4. Исследование функций с помощью производных.
  8. Возрастание и убывание функций.
  9. 10. Задачи, приводящие к понятию производной функции. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл.
  10. Необходимое условие возрастания и убывания дифференцируемой функции в интервале.
  11. 15. Понятия производного. Дифференцируемость функции.
  12. 2.2. Функции комплексного переменного (ФКП). Условия Коши-Римана
  13. Тема 15. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
  14. Тема 16. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.