3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.

Определение 2. Линейное пространство Н называется предгильбертовым пространством, если указано правило, которое позволяет сопоставить каждой паре элементов x и y пространства Н вещественное (или комплексное) число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначенное , удовлетворяющее следующим условиям:

а) (в случае комплексного значения)

б)

в) для любого вещественного числа l;

г) при и при ;

Число назовём нормой элемента х.

Пример 9. Пространство l₂ становится гильбертовым, если для любых двух его элементов и положить

Сходимость этого ряда для любых x и y из l₂ вытекает из неравенства Буняковского для рядов.

Пример 10. Пространство . Это пространство (вещественных) функций, определённых и измеренных на отрезке [a, b] и таких, что

,

где почти всюду на [a, b]. будет гильбертовым пространством, если положить для

Существование этого интеграла при любом и из вытекает из неравенства Гельдера для интегралов.

Рассмотрим простейшие свойства гильбертовых пространств.

1. Из аксиом б) и в) легко получается общая формула

справедливая для произвольных векторов и произвольных вещественных чисел

Установим теперь для скалярного произведения неравенство Коши - Буняковского. Для любых и любого lÎR, имеем или Рассматривая это выражение как квадратный трехчлен относительно l, получаем, что условием его неотрицательности является неположительность его дискриминанта, т.е.(х, у)² – (у, у)(х, х) £ 0 или |(x, y)| £ – это и есть неравенство Коши – Буняковского.

Теорема 6. Величина является нормой в пространстве со скалярным произведением.

Доказательство. 1. Неотрицательность следует из неотрицательности скалярного произведения.

2.

3. . По неравенству Коши-Буняковского,

.

Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим неравенство .

Легко доказывается непрерывность скалярного произведения.

Теорема 7. Скалярное произведение есть непрерывная функция относительно сходимости по норме.

Доказательство. Пусть и . Тогда числа и ограничены; пусть М – их верхняя граница.

Имеем

Так как и при ,то и при , что и требовалось доказать.

Наличие скалярного произведения позволяет ввести в гильбертовом пространстве понятие длины (нормы) вектора и угла между векторами по формулам

Из неравенства Коши – Буняковского следует корректность этих формул. Эти определения согласуются с обычными формулами аналитической геометрии.

Два вектора х и y ÎН называются ортогональными (в этом случае записывают ), если . Если и , то это определение, в соответствии с общим определением угла между векторами, означает, что x и y образуют угол в . Нулевой вектор оказывается ортогональным любому вектору х ÎН.

В пространстве условие ортогональности векторов и имеет вид

.

Легко проверить, вычислив соответствующие интегралы, что в пространстве любые два вектора тригонометрической системы

взаимно ортогональны.

Отметим несколько простых свойств, связанных с понятием ортогональности.

1) Если вектор х ортогонален векторам то он ортогонален и любой линейной комбинации этих векторов.

2) Если векторы ортогональны вектору х и , то вектор у также ортогонален вектору х.

Действительно, в силу непрерывности скалярного произведения , что и требовалось доказать.

Из свойств 1) и 2) следует, что совокупность всех векторов ортогональных вектору х (или произвольному фиксированному множеству Х векторов в Н), образует замкнутое подпространство – ортогональное дополнение к вектору х (к множеству Х).

Система векторов пространства Н называется ортонормальной системой, если

.

Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая конечная подсистема этой системы линейно независима.

Любую систему линейно независимых элементов можно превратить в ортонормальную с помощью следующего процесса ортогонализации Шмидта.

Полагаем . Пусть . Подберем число так, чтобы было ортогональным . Имеем . Отсюда следует, что для этого следует взять .

и подберем числа так, чтобы было ортогонально ; для этого следует взять . Полагаем , причем снова и т.д.

Пример 11. Если совокупность степеней ортогонализовать в пространстве то мы придём к системе многочленов называемых многочленами Лежандра. Можно показать, что n-ый многочлен Лежандра имеет вид .

Пример 12. Функции, получающиеся при ортогонализации выражений в пространстве , называются функциями Эрмита. Можно показать, что n-ая функция Эрмита имеет вид .

Пример 13. Функции, получающиеся при ортогонализации выражений в пространстве называется функциями Лагерра. Можно показать, что n-ая функция Лагерра имеет вид .

Теорема 8. (равенство параллелограмма) В пространстве со скалярным произведением выполняется следующее тождество:

||x + y||² + ||x - y||² = 2||x||² + 2||y||².

Доказательство. В пространстве со скалярным произведением выполняются равенства

||x + y||² = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = ||x||² + 2(x, y) + ||y||²,

||x - y||² = (x - y, x - y) = (x, x) - 2(x, y) + (y, y) = ||x||² - 2(x, y) + ||y||².

Складывая, получим нужное тождество.