<<
>>

3.1. Основные взаимно-корреляционные свойства и тождества

В этом параграфе будут рассмотрены основные определения взаимной корреляции двоичных последовательностей, а также их свойства и тождества в том виде как они представлены в работе [20].

Пусть х=(хо, Х1,...^у-0 и у=(уо, у1,...,уУ-0 есть векторы в V размерном векторном пространстве над СР(2), а (х,у)=ХоУо+Х1у1+...+х?.1Уу-1 есть скалярное произведение векторов х и у. Пусть Т есть оператор циклического сдвига вектора х на одну позицию влево, т.е. Тх=(х1, Х2,...,Ху-ь хо). Результат к-кратного применения оператора Т к х обозначим Т^х. Очевидно, Ткх=(х|С, Х|сн,...,ху.ь хо,...,Хы)» а Тх=х. Кроме того, Т'^Т'х, где

k=i mod v. Аналогичным образом вводится оператор Т1 циклического сдвига на одну позицию вправо. Ясно, что T"kx=Tv"kx при 0^kX, ПОСТРОИМ бесконечную В Обе СТОРОНЫ ПОСЛеДОВатеЛЫЮСТЬ Х=..., Х-2, X.J, Хо, Х|, X2,...,X.V-I,

xv,..., где xmv+i=Xi для всех m и 0Определяется Как Наименьшее Целое ПОЛОЖИТеЛЬНОе ЧИСЛО V, ДЛЯ КОТОрОГО Xj=Xj+v •

Последовательности вида хДх,...Д*х еще иначе называются сдвиговыми последовательностями или просто сдвигами.

В большинстве практических приложений двоичные последовательности преобразуются в последовательность биполярных импульсов единичной амплитуды, которые получаются заменой каждой 1 импульсом с амплитудой -1, а каждого 0 -импульсом с амплитудой +1. Последовательности биполярных импульсов часто называют бинарными последовательностями. Следуя [13], введем функцию хЦаЦМгКГ* гДе а€(0Д} : Х(0)=+1, х(1)=-1.

Для каждой пары v-векторов х и у определена периодическая взаимно-корреляционная функция

M/H*JV),/€Z ,(3.i)

где Z - множество целых чисел.

Если х и у - бинарные последовательности, порожденные векторами х и у, то (3.1) эквивалентно следующему определению

Q^D^xj^JeZ .(3.2)

Очевидно, что при всех leZ

вх,у(/)=вх,у(/+У) И вх,у(-/)=ву.х(/) . (3.3)

Нетрудно также показать, что для бинарных последовательностей справедливо следующее равенство:

Ёмо=<2>х2>)«

»=0

В случае последовательностей типа Адамара оно преобразуется к виду:

|Х,(/) = 1 .(3.4)

Таким образом, при больших значениях V среднее значение 0х,у(/) близко к нулю.

Рассмотрим еще несколько полезных и имеющих широкое применение тождеств. Пусть х, у еС? , где С - множество комплексных чисел, есть произвольные векторы, а х и у соответствующие им последовательности. Тогда

Положив в (3.5) п=0, получим

Т№*Мг =Х^.(,)[^(/)Г . (3.6)

4=0 1-0

Это соотношение впервые было приведено в работах Голда и Столдера и Кана, опубликованных в середине 60-х годов. Очень важны и интересны приложения этих тождеств. Так с их помощью был найден ряд нижних границ, кроме того, они приводят к полезным алгоритмам и методам построения последовательностей. Обратимся к тождеству (3.5). Оно означает, что автокорреляционная функция последовательности О^у совпадает с взаимно-корреляционной функцией последовательностей 0Х и 0У. Пусть х и у -последовательности длины V с двухуровневой автокорреляцией. Тогда последовательность О^У также имеет длину V и обладает двухуровневой автокорреляционной функцией.

Далее из соотношения (3.5) следует, что для всех последовательностей типа Адамара должно выполняться следующее корреляционное тождество

Хк/0|2 ^2 + У-1 . (3.7)

/«0

Из (3.7) следует, что для m и GMW последовательностей среднеквадратичное значение вх,у ( ) близко к 2N и что, по меньшей мере, для одного значения / выполняется вх,у ( Г) >2N/2-1. К сожалению, эта оценка оказывается довольно слабой. К этому вопросу мы еще не раз вернемся при исследовании корреляционных пиков последовательностей типа Адамара.

<< | >>
Источник: Кренгель Евгений Ильич. ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА НОВЫХ КЛАССОВ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И УСТРОЙСТВ ИХ ГЕНЕРАЦИИ ДЛЯ СИСТЕМ СКОДОВЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ КАНАЛОВ. 2002

Еще по теме 3.1. Основные взаимно-корреляционные свойства и тождества:

  1. 1.2. Последовательности для систем связи по технологии DS-CDMA
  2. В этой главе рассматриваются периодические взаимно-корреляционные функции двоичных последовательностей
  3. 3.1. Основные взаимно-корреляционные свойства и тождества
  4. 3.3. Взаимно-корреляционные пики т-последовательностей
  5. 3.4. Взаимно-корреляционные пики последовательностей СМ
  6. З.5. Последовательности
  7. 4.1 Краткая историческая справка
  8. 5.2. Применение последовательностей GMW для повышения безопасности CDMA систем на основе стандарта IS-95
  9. 6.1. Кодовые последовательности для расширения спектра в радиосистеме многостанционного доступа "СТС-ИСТОК CDMA РРК 3/5.0"
  10. Библиографический список использованной литературы
  11. 4.2 Аппроксимативная оценка корреляционной функции
  12. 4.3 Оценка моментов корреляционной функции