3.1. Основные взаимно-корреляционные свойства и тождества
В этом параграфе будут рассмотрены основные определения взаимной корреляции двоичных последовательностей, а также их свойства и тождества в том виде как они представлены в работе [20].
Пусть х=(хо, Х1,...^у-0 и у=(уо, у1,...,уУ-0 есть векторы в V размерном векторном пространстве над СР(2), а (х,у)=ХоУо+Х1у1+...+х?.1Уу-1 есть скалярное произведение векторов х и у. Пусть Т есть оператор циклического сдвига вектора х на одну позицию влево, т.е. Тх=(х1, Х2,...,Ху-ь хо). Результат к-кратного применения оператора Т к х обозначим Т^х. Очевидно, Ткх=(х|С, Х|сн,...,ху.ь хо,...,Хы)» а Тх=х. Кроме того, Т'^Т'х, гдеk=i mod v. Аналогичным образом вводится оператор Т1 циклического сдвига на одну позицию вправо. Ясно, что T"kx=Tv"kx при 0^k xv,..., где xmv+i=Xi для всех m и 0Определяется Как Наименьшее Целое ПОЛОЖИТеЛЬНОе ЧИСЛО V, ДЛЯ КОТОрОГО Xj=Xj+v • Последовательности вида хДх,...Д*х еще иначе называются сдвиговыми последовательностями или просто сдвигами. В большинстве практических приложений двоичные последовательности преобразуются в последовательность биполярных импульсов единичной амплитуды, которые получаются заменой каждой 1 импульсом с амплитудой -1, а каждого 0 -импульсом с амплитудой +1. Последовательности биполярных импульсов часто называют бинарными последовательностями. Следуя [13], введем функцию хЦаЦМгКГ* гДе а€(0Д} : Х(0)=+1, х(1)=-1. Для каждой пары v-векторов х и у определена периодическая взаимно-корреляционная функция M/H*JV),/€Z ,(3.i) где Z - множество целых чисел. Если х и у - бинарные последовательности, порожденные векторами х и у, то (3.1) эквивалентно следующему определению Q^D^xj^JeZ .(3.2) Очевидно, что при всех leZ вх,у(/)=вх,у(/+У) И вх,у(-/)=ву.х(/) . (3.3) Нетрудно также показать, что для бинарных последовательностей справедливо следующее равенство: Ёмо=<2>х2>)« »=0 В случае последовательностей типа Адамара оно преобразуется к виду: |Х,(/) = 1 .(3.4) Таким образом, при больших значениях V среднее значение 0х,у(/) близко к нулю. Положив в (3.5) п=0, получим Т№*Мг =Х^.(,)[^(/)Г . (3.6) 4=0 1-0 Это соотношение впервые было приведено в работах Голда и Столдера и Кана, опубликованных в середине 60-х годов. Очень важны и интересны приложения этих тождеств. Так с их помощью был найден ряд нижних границ, кроме того, они приводят к полезным алгоритмам и методам построения последовательностей. Обратимся к тождеству (3.5). Оно означает, что автокорреляционная функция последовательности О^у совпадает с взаимно-корреляционной функцией последовательностей 0Х и 0У. Пусть х и у -последовательности длины V с двухуровневой автокорреляцией. Тогда последовательность О^У также имеет длину V и обладает двухуровневой автокорреляционной функцией. Далее из соотношения (3.5) следует, что для всех последовательностей типа Адамара должно выполняться следующее корреляционное тождество Хк/0|2 ^2 + У-1 . (3.7) /«0 Из (3.7) следует, что для m и GMW последовательностей среднеквадратичное значение вх,у ( ) близко к 2N и что, по меньшей мере, для одного значения / выполняется вх,у ( Г) >2N/2-1. К сожалению, эта оценка оказывается довольно слабой. К этому вопросу мы еще не раз вернемся при исследовании корреляционных пиков последовательностей типа Адамара.