4. Ортогональность и ортогональное дополнение

Элемент х называется ортогональным подпространству , если х ортогонален любому элементу В этом случае записывают .

Имеет место следующая весьма важная теорема.

Теорема 9. Если и L – некоторое подпространство гильбертова пространства H, то

(4),

где и Указанное разложение единственно.

Доказательство. Если , то, очевидно Предположим поэтому, что Пусть и {y_n} – последовательность из L такая, что при .

Пусть далее, h – любой элемент из L, отличный от нулевого вектора. Тогда y_n+ εh L для любого ε, и поэтому , т.е. .

Полагая

получаем, что , откуда или

(5).

При h = 0, неравенство (5) также очевидно выполняется. Из этого неравенства для любого следует

,

и полагая, в частности, получим

Поэтому последовательность {y_n} фундаментальна, а значит, в силу полноты H, сходится к некоторому вектору . Так как L замкнуто, то

Переходя к пределу в неравенстве (5), получаем, что , и так как h – любой элемент из подпространства L, то . Полагая , получаем требуемое равенство.

Докажем теперь единственность этого представления. Пусть , , где . Тогда и

, (6)

ибо , а .

Элемент y в разложении (4) называется проекцией вектора x на подпространство L. Из предыдущего видно, что совокупность M всех векторов, ортогональных подпространству L есть также подпространство, которое называется ортогональным дополнением к подпространству L и обозначается H - L; говорят также, что H есть ортогональная сумма подпространств L и M, и пишут H = LAM. Можно, также, сказать, что элемент z предыдущего разложения есть проекция элемента x на подпространство M.

Теорема дает, таким образом, разложение на два взаимно дополнительных ортогональных подпространства.

Теорема 9. Для того чтобы линейное многообразие М было всюду плотно в Н, необходимо и достаточно, чтобы не существовало вектора, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам многообразия М.

Необходимость. Прежде всего очевидно, что из следует . Но по условию и, следовательно, , в частности , откуда следует, что , и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть М не всюду плотно в Н. Тогда и существует элемент . По предыдущей теореме имеем , где , , и так как , то ; что противоречит условию, и достаточность доказана.