<<
>>

4. Ортогональность и ортогональное дополнение

Элемент х называется ортогональным подпространству , если х ортогонален любому элементу В этом случае записывают .

Имеет место следующая весьма важная теорема.

Теорема 9. Если и L – некоторое подпространство гильбертова пространства H, то

(4),

где и Указанное разложение единственно.

Доказательство. Если , то, очевидно Предположим поэтому, что Пусть и {yn} – последовательность из L такая, что при .

Пусть далее, h – любой элемент из L, отличный от нулевого вектора. Тогда yn+ εh L для любого ε, и поэтому , т.е. .

Полагая

получаем, что , откуда или

(5).

При h = 0, неравенство (5) также очевидно выполняется. Из этого неравенства для любого следует

,

и полагая, в частности, получим

Поэтому последовательность {yn} фундаментальна, а значит, в силу полноты H, сходится к некоторому вектору . Так как L замкнуто, то

Переходя к пределу в неравенстве (5), получаем, что , и так как h – любой элемент из подпространства L, то .

Полагая , получаем требуемое равенство.

Докажем теперь единственность этого представления. Пусть , , где . Тогда и

, (6)

ибо , а . Но (6) означает, что . Следовательно, также . Теорема доказана.

Элемент y в разложении (4) называется проекцией вектора x на подпространство L. Из предыдущего видно, что совокупность M всех векторов, ортогональных подпространству L есть также подпространство, которое называется ортогональным дополнением к подпространству L и обозначается H - L; говорят также, что H есть ортогональная сумма подпространств L и M, и пишут H = LAM. Можно, также, сказать, что элемент z предыдущего разложения есть проекция элемента x на подпространство M.

Теорема дает, таким образом, разложение на два взаимно дополнительных ортогональных подпространства.

Теорема 9. Для того чтобы линейное многообразие М было всюду плотно в Н, необходимо и достаточно, чтобы не существовало вектора, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам многообразия М.

Необходимость. Прежде всего очевидно, что из следует . Но по условию и, следовательно, , в частности , откуда следует, что , и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть М не всюду плотно в Н. Тогда и существует элемент . По предыдущей теореме имеем , где , , и так как , то ; что противоречит условию, и достаточность доказана.

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 4. Ортогональность и ортогональное дополнение:

  1. 3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба
  2. введение
  3. Метод главных компонент
  4. 4.1 Дискретное вейвлет-преобразование
  5. § 2, Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы, Обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли
  6. Вопросы для самопроверки
  7. 14. Стили МЫШЛЕНИЯ и поведения через ПРИЗМУ ТЕОРИИ ведущих тенденций
  8. Содержание дисциплины
  9. ЧАСТЬ 7 ПАРАДОКСЫ «СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ»
  10. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  11. 2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
  12. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  13. 2. Понятия и предложения из теории функций и функционального анализа
  14. 2. Сведения из теории эволюционных уравнений и разностных схем