Особенности реализации модели в методе конечных элементов
Прямая реализация приведенных выше выражений для вычисления матрицы касательной жесткости, векторов узловых сил реакции и напряжений стержневого конечного элемента неэффективна с вычислительной точки зрения, так как требует перемножения большого количества матриц, а выражения должны вычисляться многократно при интегрировании по площади поперечного сечения элемента и по его длине.
Для эффективной численной реализации разработанной уточненной модели указанные выражения были получены в аналитической форме путем определения интегралов по площади в выражениях (2.45), (2.48) и (2.50). Для выполнения операций над громоздкими символьными выражениями компонент матриц и векторов был использован пакет символьной математики «Mathematica»версии 3.0.При интегрировании выражений по площади предполагалось, что связанные с поперечным сечением координатные оси у и zсовпадают с главными центральными осями инерции, что позволило сделать следующие подстановки
где Jz, Jy- осевые моменты инерции поперечного сечения; Jp- полярный момент инерции; Jk- момент инерции при кручении.
Интегрирование полученных выражений по длине элемента (оси х) эффективнее производить численно. Общее число комбинаций граничных условий для пространственного СКЭ равно 43= 64. Если аналитически вычислить все комбинации, то результирующая программа будет громоздкой.
Максимальная степень подынтегрального многочлена в выражениях (2.45), (2.48) и (2.50) лежит в пределах от 4 до 8. Для точного численного интегрирования многочленов была использована квадратурная формула Гаусса-Лежандра по оптимально выбранным точкам интегрирования. Для многочленов 8 и 4 порядков использовалось 6 или 3 оптимально выбранных точек интегрирования, соответственно.
Для матрицы
приведем конечные выражения ее компонентов
Сама матрица вычисляется как
. Для краткости записи введем сле
дующие обозначения:
Тогда элементы kσ uвычисляются с использованием следующих выражений
2.3.