Вопросы для самопроверки

Как расположена плоскость относительно системы коордиийт, если в её уравнении Аз: + By + Cz + D — 0 отсутствует:

а) свободный член;

б) одна из координат; и) две координаты;

г) одна из координат и свободный члек;

д) две координаты и свободный член?

Запищите уравнение плоскости.

Как найти расстояние данной точки до плоскости?

5 Как найти расстояние между двумя параллельными плоскоеТНГЛИ?

Каканы условия параллельности и перпендикулярности дізух плоскостей?

Как определить угол между двумя плоскостями?

Запишите уравнение плоскости, проходящей через три заданных

TQ4t: г'

Напишите уравнения пучка плоскостей.

10 Напишите уравнения прямой в пространстве.

Kfirt определить утл между прямой и плоскостью?

Каг определить угол между двумя прямыми в пространстве?

Условия параллельности н перпендикулярности двух прямые о пространстве

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Кзк катти точку о ддлся я примой и омкости?

Упражнения

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М\{2\ — 1; и 1; 2) параллельно вектору п — (Л; —1; —4),

СОСТанИТЬ УрЙВІїеИНе ПЛОСКОСТИ, ПрОХОДИЩеЙ ЧСреЗ Три ТОЧКИ

Mi{3; -1; 2), Ма(4; -1; -1) и М3(2; 0; 2).

Зн Определить, при каких значениях / и nt уравнения 2-х + + Зг — -5=0, 7гис -- % - йг н- 2 0 определяют параллельные плоскости,

Определить, при каких значеннях І уравнения х н- ,Уу + 2z -h 5 ^ я= 0Н Зх — + — 3 = 0 будут определять перпендикулярные плоскости.

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М](3; -2; —7} параллельно плоскости 5а: — Зу -+¦ 2z — 3 « 0.

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно it двум плоскостям 2х — у + 3z - 1 —Он

Составить уравнение плоскости, которая проходит:

а) через точку М(2; —3; 3) параллельно плоскости Оху,

б) через точку АШ; -2; 4) параллельно плоскости Oxz-,

а) через точку М{—5; 2; —1) параллельно плоскости Oyz;

г) через ось Ох н точку М (4; —1; 2);

д) через ось Оу у точку М(1; 4; -31;

е) через ось Oz и точку Af{3; —4; 7).

Составить уравнение плоскости, которая проходит:

а) черев точки М[(7; 2; —3) и 6; —4} параллельно оси Ох;

б) через точки ML(2; —1; 1) и JWs(3; 1; 2) параллельно оси Оу;

в) через точки Лґі(3; -2; 5) и А/з{2; 3; 1) параллельно оси Oz,

Плоскость проходит через точку A/i(ti; -10; 1) и отсекает на оси абсцисс отрезок а = -3 и на оси аппликат отрезок г — 2. Составить для этой плоскости уравнение в отрезках.

Найти расстояние между параллельными плоскостями:

а) Ш - 32у + 2Az -75 — 0, ІЬх - IQy + 12г - 25 = 0;

б) fiz ¦ 18]/ - dz~ 28 = 0, 4х- 12у - H.r ~ 7 = 0.

1J, Составить канонические уравнения прлмой, проходящей через точку Mi (2; (>; —3) параллельно:

а) вектору а = (2; — 3; 5);

,, - х — 1 у+ 2 г +1

6} прямой —= =

Составить канонические уравнения прямой, проходящей чс'рел две точки:

а) (1; -2; 1} и (3; 1; -1);

б) (3; —1; 0) и (1; 0; -3).

Составить параметрические уравнения медианы, проведённой из вершины С{4; -7; -2), если даны две доугие вершины треугольншеа Л{3] 6; —7) и о(~Ч; 2; 3 Ді

14.

16.

Доказать параллельность прямых:

г + 2 _ JLZ.1 - ? h f х - у - 5z - S - О, 3 —2 1 \ і 4 т/ - z ~ О.

Доказать перпендикулярность прямых:

a f + +

1 -2 -1 \ - ? - 5z 4- 4 = О

Найти острый угол между прямыми:

т - 3 г/ + 2 І л: + 2 _ __ ^ + 5

" -1 7Г"

Найти точку пересечения прямой и плоскости;

^ = - тт.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку АГо{2; —3; —5) перпенднкулпрно к плоскости 6т — Зу — 4 2 — 0.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

ЛД(1; —1; -1) перпендикулярно прямой = = 5І1?

J, —J 4

n аг-f-I у -1 2 + 3

При каких значениях m прямая —= -—- = —— парад-

о m —2

лельна плоскости х — Зу 4- Gz 4 7 О?

При каких значениях I прямая Зх - 2у 4 z + 3 = 0 и 4х - Зу + 4- 4 1 — 0 параллельна плоскости 2х — у -biz — 2 = О?

Ответы

0Х - у -J-7* - 40 = 0, 2. 3* + 3if 4 z - 8 - 0. 3. і - 3, m = -4. 4. 6, 5. = 0. 6. 7,т - у - 5z = О,

а) г - 3 = 0; б) у -Н 2 = 0; в) х 4 5 ~ 0, г) 2у 4 г « 0; д) Зх -г ^ ^ 0; е) 4х 4 Зу = 0.

а) у 4 4z 4 10 = О; б) х - г - 1 = G; в) 5х 4 у - 13 - 0.

-- *= г = 1, 10. a) гі = 0,5; б) d = 5/6.

аі Х = =

2 —3 5 5 2 — 1

12* а) — К- — [ 6)_а = ~ = К