§ 11. Функция одного переменного
величина, которая принимает различные числовые значения, называется переменной величиной н обозначается л:,т/,
Величина, которая в рассматриваемом я плени и принимает одно и то же значение, называется постоянной величиной и обозначается
Множество всех числовых значений переменной величины называ-ется областью изменения этой переменной.
Интервалом или промежутком называется множество всех чисел хt заключённых между данными числами а и bf прн этом сами о и 1) не принадлежат рассматриваемому множеству: его обозначают или
Отрезком или сегментом называется множество чисел xt удовлетвори юм;их неравенству a ^ л: ^ і.
Отрезок с концами а н h обозначается [б,Ь| или а К: -г ^ 6, причем оба числа д н Ь принадлежат рассматрива-Еели каждому значению переменной х нз области её изменения по определённому закону ставится в соответствие одно определённое значений другой переменной у, то у (читается: игрек) есть функция от х и обозначается у — f(x) {читается; игрек равняется эф от икс), или у = i/(.r) (читается: игрек равняется игрек от икс).
Множество значений xt для которых определяются значения функции yt в силу правила f(xJ, называется область определения функции.
Функциональная зависимость считается заданной, если известно правило для определения значения функции, соответствующего данному значению аргумента. Такое правило может быть представлено различными способами, важнейшими их них являются:
[) аналитический с помощью формулы, например» у = х2, у =
3)і табличный — заданы таблицы (таблицы логарифмов, квадратных
Функция одного переменного
Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Соответственно для убывающей — большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.Функция f{x) называется чётной, если для всех допустимых значений х пыполплетсп /(—х) = fix) (например, у ~ х2„ у = cosn:), а если выполняется правило f(—x) ~ -f(x)> то f(x) называется нечётной (например, у= а3, у — sins),
Если ни одно из этих двух соотношений не имеет место, то фу El к- ция нс является ни чётной, ни нечётной (отметим, что в отношении свойства чётности или нечётности все функции делятся не на два, а на три класса).
График чётной функции симметричен относительно оси Оу, нечётной — относительно начала координат,
Функции f(x) называется периодической с периодом 7\ если для любого х справедливо равенство: /(г 4- Xі) —/(х).
Пример, Найти функцию f{x), если /(х) + й/ = X. Решение. Пусть х = тогда / (у) — положив t «
= х,
Лі)=при x * L
Пример. Найти f(x) и <р(х)> если
/(2х + I) + - 1) « Я, f(2x + 1) - 2tp(x - 1) ='2х
Решение. Из исходной системы находим:
ла± + і}-I (¦*+-), Ф -1) - 5 - 2еа)
145
t тогда » = - (t - 1) и /(2х -f 1) — /(t) = = ~ (t2 - і) или f(t) = (t3 - l) полагая t = x,
(У + I 1=_L = і (t
\ 2 ) Г 3 2 х 6і їм = -і)/6.
L) Пусть 2x + 1 2 ft - 1\2 . 2(^1
~~ 3 имеем
2) Пусть Of - 1 — t, тогда X — (: + 1 и - 1} = ^(i) = ^ (t + + 1)- \{t + l)2 = (2t2-+-3fc + l) или = (2t3 + ЗЄ + 1). По-лагая здесь I = ж. получим ^г(х) = (2:і;г + З.т -f-1) . Итак: f{x) —
Пример, Найти и Ч>{если = а11, = лЛ
Решение. Кч>{х)) = - а**, ^(/(ї)) - (Дя))" -
Пример.. Найти /(.т}> если / fa: + — а;2'^ \ при х ^0.
Решение. Так как / fa; + ^ х2 + -j = fa; -f — 2, то полагая і = х + - имеем /(0 = і" — 2 или заменяя t — а:, получим f(x) ~