4.1. СУЩЕСТВУЮЩИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ МАШИН И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Среди задач экономического анализа создаваемой техники и оптимизации'конструктивных разработок важное место занимает задача оптимизации параметрических рядов изделий (машин, агрегатов, сборочных единиц, деталей).
На основе установленного перспективного типажа машин, на стадиях исследования и технической подготовки производства появляется необходимость разработки новых или усовершенствования существующих параметрических изделий и их техникоэкономического обоснования.
Параметрический ряд — упорядоченная совокупность числовых значений параметров, построенная по определенной закономерности и ограниченная исходя из технико-экономической целесообразности.
Разработка оптимальных параметрических рядов является одним из важнейших направлений конструктивной унификации, создающей прочную основу дальнейшего развития специализации производства. Под оптимальным понимается такой ряд, который при минимальных затратах в сферах производства и эксплуатации полностью удовлетворяет потребности народного хозяйства в выполнении определенного вида и объема работ. Установление оптимального ряда — это весьма сложная технико-экономическая задача из-за наличия множества противоречивых факторов у изготовителей и потребителей техники, учесть которые не всегда удается. Поэтому важно иметь методику объективного техникоэкономического обоснования ряда с учетом интересов производства, потребления и народного хозяйства в целом.
В настоящее время применяются различные методы, в том числе и основанные на использовании современных экономикоматематических моделей и ЭВМ. В рассматриваемом классе задач известны примеры применения линейного, динамического программирования, теории игр и статистических решений и т. д. Однако широкого распространения и практического применения они еще не получили.
Актуальность задачи выбора оптимальных параметрических рядов изделий вызвала множество публикаций и отдельных исследований по этой проблеме за последние годы.
Подробный обзор и анализ всех задач и методов оптимизации параметрических рядов изделий весьма затруднителен. Мы ограничимся рассмотрением основных направлений и общих тенденций решения задач оптимизации параметрических рядов изделий машиностроения.В отечественной литературе, например в работе [4.21 ], известны попытки классификации существующего многообразия задач. Так, по признаку «размерность задачи» различают одно- и многопараметрические задачи. В зависимости от возможности учесть фактор времени задачи ставятся как статические, так и динамические. От того, какой конкретно параметр изделий подлежит оптимизации, различают задачу технико-экономического обоснования, например размерного или силового параметрического ряда и т. д.
Теория задач о параметрическом ряде еще недостаточно разработана. В настоящее время еще нет общих математических методов оптимизации параметрических рядов изделий. Это обстоятельство является одной из причин ничем не оправданного многообразия существующих и предлагаемых методов решения данных задач. Классификация методов решения задач изложена в ряде работ, наиболее удачно этот вопрос решен в работе [4.8], где все существующие методы оптимизации параметрических рядов изделий разделены на три группы: элементарные, классические и неклассические.
К числу элементарных методов оптимизации параметрических рядов изделий машиностроения следует отнести методы, основанные на элементарном переборе весьма ограниченного числа возможных вариантов ряда, например [4.12, 4.14]. Эти методы, хотя и применяются еще на практике, по своему уровню не отвечают современным требованиям. Они основаны на переборе незначительного числа возможных вариантов ряда и выбора наилучшего из них с точки зрения назначенного критерия оптимальности. Произвольный перебор трех-четырех из множества возможных вариантов ряда не может обеспечить гарантированный оптимум даже одноэкстремальной (а тем более многоэкстремальной) задачи о параметрическом ряде изделий. Тем более это справедливо для случая многопараметрической задачи.
Найденный таким образом оптимум носит условный характер, так как решение задачи направлено на определение лучшего из нескольких анализируемых вариантов, а действительно оптимальное решение может оказаться вообще вне рассмотрения.
Классические методы оптимизации параметрических рядов изделий, предлагаемые, например, в работах [4.5, 4.9 и др. ], правильнее было бы назвать аналитическими. Сущность этих методов заключается в том, что имеющиеся в задаче статистические зависимости аппроксимируются аналитическими с целью обеспечить возможность поиска экстремальных значений критерия оптимальности, например, методами дифференциального исчисления.
Известно, что применение аналитических методов при оптимизации параметрических рядов связано с необходимостью идеализации первоначальной статистической модели задачи, т. е. к детерминированному ее описанию. При этом часто делаются допущения о дифференцируемости функций спроса и затрат, о единственности экстремума целевой функции и др. Кроме того, возможности применения аналитических методов, в частности, дифференциального исчисления ограничены определенными требованиями к критерию оптимальности.
Одним из таких требований к показателю качества решения является необходимость представления его как функции небольшого числа переменных. Однако наиболее типичный случай задачи выбора оптимального параметрического ряда, когда критерий оптимальности представляет собой функцию, аргументом которой является также функция, т. е. функционал.
Известно, что для определения экстремумов функционалов применяются методы классического вариационного исчисления. Но применение этих методов для задач оптимизации параметрического ряда допустимо, если экономико-математическая модель характеризуется непрерывными и дифференцируемыми аналитическими функциями и, кроме того, если задача не содержит ограничений на функцию управления и другие переменные. Часто критерий оптимальности является сложным нелинейным функционалом и вариационные методы приводят к нелинейным уравнениям, решить которые не удается.
Указанные особенности аналитических методов ограничивают возможность широкого их применения в задачах оптимизации параметрических рядов.Следующая группа методов оптимизации параметрических рядов изделий, успешно развивающихся особенно в последнее время, названа в работе [4.8 ] неклассическими методами. Более удачно, по нашему мнению, назвать их алгоритмическими методами, подчеркнув тем самым их основную сущность и принципиальное отличие от рассмотренных выше элементарных и аналитических методов.
Математической основой развития алгоритмических методов при решении экстремальных задач послужили достаточно хорошо известные численные или приближенные методы решения различного рода уравнений. К числу наиболее распространенных численных методов принадлежит, например, метод последовательных приближений (итераций). Следует отметить, что большинство современных алгоритмических методов принадлежит к итеративным.
Алгоритмические методы, применяемые в настоящее время при оптимизации параметрических рядов, имеют целый ряд преимуществ перед рассмотренными выше аналитическими методами. Наиболее существенным обстоятельством является использование единого методологического подхода с позиции исследования операций. Такой подход предполагает прежде всего системный анализ задачи с целью выявления наиболее существенных взаимосвязей оптимизируемого процесса. На основе результатов системного анализа формируется затем экономико-математическая модель задачи и с помощью алгоритмических методов с использованием ЭВМ осуществляется процесс оптимизации параметрического ряда.
Таким образом технико-экономическое обоснование параметрических рядов изделий с позиции теории исследования операций рассматривается как комплексная инженерно-экономическая задача: техническая (теория проектирования технических систем), экономическая (формирование целевой функции и учет ограничивающих условий), математическая (построение модели, программирование и вычисление на ЭВМ) и, наконец, кибернетическая, использующая теорию управления.
Алгоритмические методы оптимизации параметрических рядов в отличие от аналитических не связаны с необходимостью явного формульного решения задачи, а лишь указывают алгоритмы, реализация которых на ЭВМ приводит к искомому решению задачи. По сравнению с аналитическими эти методы не требуют выполнения столь жестких условий на характер целевой функции и предполагают наличие ограничений типа равенства и неравенств. При этом увеличение числа ограничивающих условий в ряде случаев способствует более эффективному использованию того или иного алгоритмического метода.
Алгоритмические методы, кроме того, обеспечивают возможность широко использовать современные вычислительные средства, что при известной трудоемкости решения задач технико-экономического обоснования параметрических рядов имеет важное значение. Таким образом, указанные преимущества алгоритмических методов обусловливают все более широкое их применение в задачах технико-экономического обоснования как одно-, так и многопараметрических рядов изделий.
Можно было бы привести в качестве примеров не один десяток работ, в которых используются алгоритмические методы оптимизации параметрических рядов, но это заняло бы слишком большой объем книги. Попытаемся до некоторой степени условно разделить разнообразие этих методов на три группы и рассмотреть некоторые примеры-представители.
К первой группе отнесем методы, в основе которых используются алгоритмы линейного программирования и его модификации. Из известных нам случаев применения линейного программирования в задачах оптимизации параметрических рядов можно привести, например, работы [4.1, 4.2 и др.]. Так в работе [4.2] при обосновании параметрического'ряда стреловых кранов минимизируется функция
т
ФМ = Г (4Л)
k=\
где т — число типов кранов в параметрическом ряду; % (xk) — общие затраты, связанные с разработкой, производством и эксплуатацией х кранов k-ro типа.
В данном случае целевая функция (4.1) выражена линейной зависимостью и каждая из множества работ может быть выполнена одним из типов машин (кранов), так как эта типичная задача о назначениях.
Именно данное обстоятельство позволило здесь воспользоваться алгоритмами линейного программирования для поиска минимума целевой функции (4.1). Однако более типичным случаем для задачи о параметрическом ряде является нелинейность целевой функции (эффект серийности), более широкие возможности взаимозаменяемости между отдельными типоразмерами. Поэтому линейное программирование, как разновидность алгоритмических методов при оптимизации параметрических рядов изделий, может применяться только при вполне определенных ограничениях на задачу.Следующая группа алгоритмических методов оптимизации параметрических рядов изделий основана на использовании алгоритмов динамического программирования и различных его модификаций. Известен целый ряд работ этого направления, например [4.6, 4.16 и др.]. Вычислительная процедура на базе динамического программирования положена в основу и типовой методики оптимизации одномерного параметрического (типоразмерного) ряда
- . Все это свидетельствует прежде всего о том, что возможности динамического программирования, как метода оптимизации, в значительно большей степени соответствуют тем требованиям, которые предъявляются к задачам технико-экономического обоснования параметрических рядов изделий.
Так, целевая функция в этом случае может быть представлена как детерминированным, так и статистическим выражением. Не обязательным является условие ее дифференцируемости, т. е. она может иметь и разрывы. Учитывая дискретный характер задачи о параметрическом ряде, это имеет большое значение. Ограничения на задачу могут быть типа равенств и неравенств. Возможности этой группы методов шире по сравнению с рассмотренными выше и в части решения многоэкстремальной задачи о параметрическом ряде.
В типовой методике [4.16], например, предлагается воспользоваться некоторыми частными свойствами целевой функции, которая летний от^тг
іі
где S (UN) — суммарные затраты на удовлетворение всего спроса в изделиях с предлагаемым параметром UL\ С0 {Ut) — затраты на ввод нового типоразмера с параметром Ut \ g (Uh Xj) — затраты на удовлетворение единичного спроса в изделиях х с помощью предлагаемого стандартного изделия U; М — множество допустимых значений изделий с параметром х (требования потребителя); lt;р (*/) — интегральная функция спроса в изделиях с требуемым параметром х.
Предполагается, в частности, что целевая функция (4.2) унимодальная и выпуклая, а поиск экстремума осуществляется с помощью вычислительной процедуры, основанной на алгоритмах динамического программирования.
Из анализа известных нам методов оптимизации параметрических рядов с применением алгоритмов динамического программирования можно сделать вывод о том, что они значительно эффективнее, чем все рассмотренные выше методы. Вместе с тем хорошо известно, что стандартная схема вычислительной процедуры на базе динамического программирования чрезвычайно трудоемка, требует значительных затрат времени и объема памяти ЭВМ.
В известных нам случаях применения модифицированных алгоритмов динамического программирования, например [4.1, 4.6, 4.16 и др. ], удается достигнуть некоторого сокращения трудоемкости решения задачи. При этом чрезмерно упрощается постановка задачи технико-экономического обоснования параметрического ряда изделий. Так, в ряде случаев целевую функцию формируют без учета эффекта серийности, не учитывается иногда также неопределенность функции спроса на изделия ряда и т. д.
Типовая методика оптимизации многомерных параметрических рядов [4.15] и примыкающие к ней работы [4.1, 4.17] предполагают использовать метод неявного перебора с использованием динамического программирования — метод ветвей и границ. Авторы указанных работ предлагают исходить из фиксированного числа возможных значений членов искомого ряда и фиксированного числа работ, полагая при этом данные числа не слишком большими. Как известно, с ростом числа возможных изделий и работ метод ветвей и границ становится все менее эффективным из-за проблемы размерности.
Таким образом группа методов, основанных на алгоритмах динамического программирования, хотя и является весьма прогрессивным направлением в решении проблемы оптимизации параметрических рядов, вместе с тем очевидна и необходимость их совершенствования. Лучшим подтверждением тому является множество публикаций по вопросам оптимизации параметрических рядов изделий, последовавших после издания типовой методики [4.16].
К третьему направлению развития алгоритмических методов оптимизации параметрических рядов изделий можно условно отнести все прочие (кроме линейного и динамического программирования) примеры численного (линейного) решения задачи. В эту группу методов можно включить, например, методы, изложенные в работах [4.1, 4.3, 4.4, 4.15, 4.17 и др.]. Наибольший интерес из группы методов последнего, третьего направления развития алгоритмических методов оптимизации параметрических рядоЕ представляют, по нашему мнению, работы, в которых целевая функция формируется с учетом потерь (затрат) из-за несоответствия предлагаемого варианта ряда требуемому.
В зарубежной литературе, например, крупнейшие специалисть: в области промышленной статистики Нидерландов Дж. ван Эттин- гер и Дж. Ситтинг еще в 60-х годах, рассматривая вопросы оптимальной стандартизации, писали, что потери от адаптации (из-за расхождения между нуждами потребителей и стандартизованными изделиями) в 2,5 раза больше, чем были бы при оптимальной стандартизации. Но поскольку потери неизбежны, следует добиться их возможного сокращения. Следовательно, они указывают, что «оптимальным является такое число стандартизуемых типоразмеров, при котором сумма потерь от адаптации и производственных расходов будет минимальной» [4.22].
В отечественной литературе применительно к параметрическим рядам критерий оптимальности в виде функции потерь был предложен в работе [4.11]. Примечательно, что задача оптимизации параметрического ряда в этой работе ставилась и решалась в условиях неопределенности относительного спроса на изделия ряда.
При этом, для того чтобы учесть фактор неопределенности и потери (затраты) из-за несоответствия предлагаемого варианта ряда требуемому, в работе [4.11 ] был использован известный из теории статистических решений минимаксный метод оптимизации. В общем виде минимаксная стратегия записывается следующим выражением целевой функции [4.11]:
где— потери, отвечающие оптимальному ряду у*;
f (х) — худшее распределение требований xt.
Несомненным преимуществом подобной постановки задачи о параметрическом ряде (в части характера целевой функции) является учет потерь. Что касается неопределенности задачи, то минимаксная стратегия, как это видно из формулы (4.3), ориентируется на худшее распределение требований, которое может оказаться далеким от реальной действительности. Оптимизация же параметрического ряда в таком случае может привести к необоснованным запасам номиналов ряда и, следовательно, решение задачи не будет оптимальным.
Идея учета фактора неопределенности и потерь из-за несоответствия предлагаемого варианта ряда требуемому получила дальнейшее развитие. В работах последнего времени трудно найти целевую функцию, где бы не была предпринята попытка учесть указанные выше потери. Так, в работе [4.17] оптимизация многомерного параметрического ряда грузовых автомобилей осуществляется методом «ветвей и границ» с помощью целевой функции вида
Функция g (уі, у/) здесь учитывает потери из-за «несовпадения параметров». Что касается метода оптимизации «ветвей и границ», применяемого в работе [4.17], то его можно рассматривать как модификацию предложенного в типовой методике оптимизации многомерного параметрического ряда [4.15]. Таким образом, при формировании целевой функции для оптимизации параметрических рядов все более определенно проявляется тенденция в том, что наряду с затратами по предлагаемому ряду изделий учитывают и дополнительные затраты (потери) из-за несоответствия предлагаемого ряда требуемому потребителями.
Одним из перспективных, по нашему мнению, методов оптимизации параметрических рядов изделий является предложенный в работах [4.3, 4.4] адаптивный метод. Под адаптацией применительно к параметрическим рядам следует понимать процесс изменения главного параметра и структуры (числа членов) ряда на основе текущей информации с целью достижения оптимального состояния при имеющемся объеме априорной информации. Имеющийся опыт технико-экономического обоснования изделий станко- и тракторостроения с использованием этого метода показал его эффективность и целый ряд преимуществ перед существующими методами оптимизации.