Теоремы сравнения положительных рядов.

Пусть даны два положительных ряда:

и .

Теорема 1. Если выполняется неравенство: , начиная с некоторого n, то из сходимости ряда второго (большего) ряда - следует сходимость первого (меньшего) ряда. А из расходимости ряда меньшего ряда следует расходимость ряда большего.

Доказательство:

Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на сходимость, можно считать, что

Для частичных сумм этих рядов выполняется

Пусть ряд сходится, тогда и тем более значит ряд - сходится.

Пусть расходится, тогда , значит и ряд расходится.

Теорема 2. Если существует конечный предел отношения общих членов двух рядов , , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Примеры. Исследуйте на сходимость следующие ряды

1) сравним члены этого ряда с членами расходящегося гармонического ряда , так как , исследуемый ряд расходится.

2) Ряд сходится по теореме сравнения, так как предел отношения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося (доказанный ранее) ряда есть , постоянное число.

3) Сравним этот ряд с рядом , который представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , следовательно, сходится.

Так как исследуемый ряд сходится.

4) Ряд сравним с рядом , который является расходящимся рядом. с учетом того, что .

Приведем полученные о сходимости некоторых рядов, которые могут быть использованы для сравнения:

1.

2.

3.

4.