Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Признак Даламбера.

Теорема. Рассмотрим ряд с положительными членами и предел отношения последующего члена ряда к предыдущему.

1) Если 2) существует , тогда

Доказательство:

то есть .

Рассмотрим 3 случая:

1) Выберем столь малым, чтобы значение тогда, полагая , при значении имеем для .

и так далее.

Члены ряда меньше членов геометрической прогрессии: Так как , то ряд (2) сходится, значит, по теореме сравнения сходится и ряд (1).

2) Возьмем столь малым, что тогда при члены ряда не не выполняется необходимый признак сходимости ряд расходится.

3) Покажем, что в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

1) гармонический ряд расходится, для него

2) Рассмотрим ряд

Для него Сравним члены исследуемого ряда со сходящимся рядом (доказано ранее).

Значит, сходится.

Лекция №2

Примеры. Исследовать на сходимость ряды:

1. .

,

Ряд сходится.

2. .

ряд сходится.

3. можно убедиться, что

Вычислим

исследуемый ряд сходится.