Ряди. Ознака Даламбера, ознака порівняння, ознака Коші збіжності числових рядів

Числовим рядом називають послідовність чисел з’єднаних між собою знаками плюс (або мінус), тобто

(57)

Числа називаються членами ряду, а загальним членом ряду.

Частинною сумою ряду називають суму перших n членів ряду.

Збіжним називають ряд, для якого виконується умова

(58)

а границю S називають сумою ряду. Якщо умова (58) для ряду (57) не виконується, то такий ряд називають розбіжним.

Необхідною умовою збіжності ряду (57) є умова

(59)

Якщо умова (59) не виконується, то такий ряд є розбіжним. Часто необхідна умова (59) виконується, але не виконується при цьому умова (58) і тоді ряд є розбіжним..

При перевірці виконання умови (58) виникають значні труднощі при обчисленні послідовності частинних сум . Існують достатні ознаки збіжності ряду (57), за допомогою яких значно простіше дослідити збіжність ряду.

Для знакододатних числових рядів зупинимось на таких ознаках збіжності:

1) Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду (57) існує границя відношення наступного члена до попереднього при необмеженому зростанні номера n, тобто

(60)

то при ряд збіжний, а при ряд розбіжний. При необхідно застосувати іншу ознаку.

2) Радикальна ознака Коші. Якщо для знакододатного ряду (57) існує границя виду

(61)

то при ряд збіжний, а при ряд розбіжний. При необхідно застосувати іншу ознаку.

3) Ознака порівняння рядів. Якщо один з двох знакододатних рядів , збіжний (розбіжний) і виконується умова

то збіжним (розбіжним) є і другий ряд. 38.