Знакозмінні ряди. Теорема Лейбніца. Необхідна умова збіжності. Абсолютна збіжність ряду.

Для знакозмінних рядів достатньою є така ознака збіжності. Якщо для знакозмінного ряду є збіжним ряд, який складений з абсолютних величин членів цього ряду , то знакозмінний ряд збіжний і таку його збіжність називають абсолютною.

Серед знакозмінних рядів окремо вирізняють знакочергові ряди виду

(62)

Ознака Лейбніца. Якщо для ряду (62) абсолютні величини членів ряду і виконується умова , то ряд збіжний, а його сума не більша першого члена ряду.

Зауваження. Якщо ряд із абсолютних величин членів ряду (62) є розбіжним, а умова Лейбніца виконується, то такий ряд називають умовно збіжним.

Приклад 44. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання. Перевіримо умови ознаки Лейбніца:

Умови виконуються. Ряд збіжний.

Необхідна умова рівномірної збіжності

Для того, щоб ряд збігався рівномірно на необхідно, щоб на 869" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1423/image/437.gif" alt=D> при .

Абсолютно та умовно збіжні ряди

Ряд називається абсолютно збіжним на , якщо для будь-якого ряд збігається.

Довільна перестановка членів абсолютно збіжного ряду не впливає на його суму. 39.