Степеневі ряди. Радіус збіжності. Інтервал збіжності

Степеневим рядом називають ряд виду

(64)

Де і коефіцієнти є сталі величини.

(65)

Областю збіжності степеневого ряду (64) є інтервал , до якого можуть бути додані кінцеві точки .

Приклад 45. Знайти область збіжності степеневого ряду

Розв’язання. За формулою (65) знайдемо радіус збіжності ряду.

Одержали інтервал . Дослідимо ще збіжність ряду на кінцях цього інтервалу.

1) При одержимо числовий ряд

де Перевіримо необхідну умову (59) збіжності числового ряду:

Необхідна умова не виконується. Ряд розбіжний.

При одержимо знакочерговий ряд який також розбіжний, бо для нього не виконується необхідна умова збіжності ознаки Лейбніца.

Тобто до інтервалу збіжності ряду не можна додати жодної кінцевої точки.

Відповідь. Областю збіжності степеневого ряду є інтервал

Інтервалом збіжності називається такий інтервал, у всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок |x|>R ряд є розбіжним, при цьому число R>0 називається радіусом збіжності ряду. 40.