Рівняння площини в просторі. Види рівнянь площин. Навести приклади.

Різні рівняння площини у просторі

Нормальне рівняння площини

, де – радіус-вектор довільної точки площини, – одиничний вектор, що має напрям перпендикуляра, опущеного на площину із початку координат, – кути, утворені згаданим перпендикуляром з осями координат , – довжина перпендикуляра.

В координатній формі рівняння записується

Загальне рівняння площини

Коефіцієнти служать координатами вектора , який перпендикулярний до площини (нормальний вектор).

Для приведення загального рівняння до нормального виду необхідно всі його члени помножити на нормуючий множник

,

де знак перед коренем слід брати протилежним знакові :

.

Якщо точка знаходиться на певній відстані від площини, то ця величина обчислюється за формулою (див. приклад)

В залежності від наявності або відсутності певних змінних в загальному рівнянні площини, а також рівності або нерівності нулю площина буде характеризуватись певними особливостями її розташування у просторі.

Елементи дослідження загального рівняння площини:

· при відсутності в загальному рівнянні однієї певної змінної (при ) площина буде паралельною вісі, яка однойменна з відсутньою змінною;

· при площина проходить через початок координат;

· при відсутності в загальному рівнянні площини двох певних змінних (при ) площина буде перпендикулярною вісі, яка однойменна з наявною в рівнянні площини змінною;

· при відсутності в загальному рівнянні площини однієї певної змінної і площина проходить через вісь, яка однойменна з відсутньою змінною;

· при відсутності в загальному рівнянні двох змінних і площина буде співпадати з координатною площиною, яка перпендикулярна осі, однойменній з наявною в її рівнянні змінною.

Рівняння площини "у відрізках на осях"

Якщо , то після розділення всіх членів загального рівняння площини на , рівняння площини набуває виду

, де .

Точки перетину цієї площини з координатними вісями називаються “слідами площини”: .

Рівняння в'язки площин

називається рівнянням в’язки площин – сукупності площин, що перетинаються в точці , але мають різну орієнтацію у просторі, в залежності від орієнтації нормального вектора .

Рівняння пучка площин

визначає деяку площину, що проходить через пряму, по якій перетинаються дві площини, тобто через пряму, яка визначається рівнянням

.

Якщо вказані площини паралельні, то пучок перетворюється в сукупність паралельних площин.

Рівняння площини, яка проходить через точки

– рівняння площини, яка проходить через точки , а – довільна точка площини.

Взаємне розташування двох площин

Розглядаються деякі співвідношення, які виражають певні моменти взаємного розташування двох площин:

Паралельність

У випадку паралельності площин

Перетинання

Якщо дві площини перетинаються так, що кут між їх нормальними векторами дорівнює , то

.

Перпендикулярність

У випадку перпендикулярності площин 8.