<<
>>

Однорідні диференціальні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.

Однорідними рівняннями першого порядку називають рівняння виду

(39)

Для того, щоб рівняння (39) звести до рівняння з відокремлюваними змінними, вводять заміну змінної .

Тоді і рівняння (39) можна переписати через змінну. Одержуємо

Змінні відокремлюються і його вже можна розв’язати.

Приклад 36. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання. Розв’яжемо це рівняння відносно похідної ; одержимо однорідне рівняння

Введемо заміну змінної. Одержимо

Або

якщо позначимо то одержимо вираз, який можна інтегрувати. Маємо

Повернемося до старої змінної, тобто підставимо замість t його значення Одержуємо загальний розв’язок у вигляді

Лінійними рівняннями першого порядку називають рівняння виду

де і задані функції.

Одним із способів розв’язування лінійних рівнянь є метод знаходження розв’язку рівняння (40) у вигляді добутку двох функцій , тобто

Тоді рівняння (40) можна переписати у вигляді

(41)

На функцію накладають таку умову, щоб вираз

(42)

Замість рівняння (41) одержуємо рівняння

(43)

Рівняння (42) є рівнянням з відокремлюваними змінними.

Розв’язавши його, одержуємо функцію. Підставимо цю функцію у рівняння (43) і одержимо рівняння з відокремлюваними змінними, для якого зможемо знайти загальний розв’язок у вигляді .

Тоді загальний розв’язок лінійного рівняння (40) запишемо у вигляді

Зауваження. Тим самим методом можна розв’язувати рівняння виду

де а - довільне число і яке називають рівнянням Бернуллі. 35.

<< | >>
Источник: Невідомий. Вища математика. Відповіді до екзамену. 2015

Еще по теме Однорідні диференціальні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.:

  1. 4. Принципи діяльності нотаріату в Україні
  2. 62_Підстави виникнення права водокористування.
  3. 28. Концесійні договори, договори (контракти) щодо виробничої кооперації, спільного виробництва та інших видів спільної інвестиційної діяльності.
  4. II. Винесення постанови про закриття кримінальної справи
  5. 39. Інстанційна підсудність адміністративних справ
  6. ГЛАВА IIУсловия, затрагивающие учреждение и деятельность компаний
  7. §2. Старый эмпиризмъ и стары я антиме- тафизическія концепцій:              п с и х о ф и з і о л о г и ч е- скій параллелизмъ.
  8. 1.3. Основні положення загальної теорії правової системи 1.3.1. Правова система як підсистема суспільства 1.3.1. Правова система як підсистема суспільства
  9. 2.2. Генезис ідеї європейської єдності та європейська правова інтеграція
  10. Однорідні диференціальні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.
  11. Лінійні диференціальні рівняння ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.
  12. ЗАКОН УКРАЇНИ Про місцеве самоврядування в Україні від 21.05.1997 № 280/97-ВР
  13. Стаття 132. Зміст угод про перехід права власності на земельні ділянки