Однорідні диференціальні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.

Однорідними рівняннями першого порядку називають рівняння виду

(39)

Для того, щоб рівняння (39) звести до рівняння з відокремлюваними змінними, вводять заміну змінної .

Змінні відокремлюються і його вже можна розв’язати.

Приклад 36. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання. Розв’яжемо це рівняння відносно похідної ; одержимо однорідне рівняння

Введемо заміну змінної. Одержимо

Або

якщо позначимо то одержимо вираз, який можна інтегрувати. Маємо

Повернемося до старої змінної, тобто підставимо замість t його значення Одержуємо загальний розв’язок у вигляді

Лінійними рівняннями першого порядку називають рівняння виду

де і задані функції.

Одним із способів розв’язування лінійних рівнянь є метод знаходження розв’язку рівняння (40) у вигляді добутку двох функцій , тобто

Тоді рівняння (40) можна переписати у вигляді

(41)

На функцію накладають таку умову, щоб вираз

(42)

Замість рівняння (41) одержуємо рівняння

(43)

Рівняння (42) є рівнянням з відокремлюваними змінними.

Тоді загальний розв’язок лінійного рівняння (40) запишемо у вигляді

Зауваження. Тим самим методом можна розв’язувати рівняння виду

де а - довільне число і яке називають рівнянням Бернуллі. 35.