<<
>>

Лінійні диференціальні рівняння ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.

Лінійне рівняння другого порядку має вид

(44)

де деякі неперервні функції, а Якщо , то лінійне рівняння

(45)

називають лінійним однорідним.

Структура загального розв’язку для рівняння (45) має вигляд

(46)

де - сталі величини, а - функції, які складають фундаментальну систему розв’язків для цього рівняння.

Структура загального розв’язку лінійного неоднорідного рівняння (44)

дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння та частинного розв’язку

неоднорідного рівняння і записується у вигляді

(47)

Лінійне однорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами має вид

(48)

де сталі величини.

Якщо розв’язок рівняння (48) шукати у вигляді функції , то характеристичне рівняння для цього рівняння має вид

(49)

Якщо корені характеристичного рівняння (49):

1) дійсні різні , то загальний розв’язок рівняння (48) записують у вигляді

(50)

2) дійсні рівні , то загальний розв’язок рівняння (48) записують у вигляді

(51)

3) комплексно спряжені ( - уявна одиниця), то загальний розв’язок цього рівняння має вигляд

(52)

Частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння зі сталими коефіцієнтами виду

(53)

де - неперервна функція, можна знайти методом варіації сталої, або іншими частинними методами.

Приклад 38.

Знайти частинний розв’язок рівняння , який задовольняє умовам .

Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння для заданого диференціального рівняння за формулою (49). Одержуємо

Корені дійсні різні. Тепер за формулою (50) запишемо загальний розв’язок

Для знаходження констант C1 та C2 підставимо початкові умови в загальний розв’язок та його похідну . Одержимо

або таку систему рівнянь:

Відповідь. Частинний розв’язок рівняння має вигляд 37.

<< | >>
Источник: Невідомий. Вища математика. Відповіді до екзамену. 2015

Еще по теме Лінійні диференціальні рівняння ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.: