Лінійні диференціальні рівняння ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.

Лінійне рівняння другого порядку має вид

(44)

де деякі неперервні функції, а Якщо , то лінійне рівняння

(45)

називають лінійним однорідним.

Структура загального розв’язку для рівняння (45) має вигляд

(46)

де - сталі величини, а - функції, які складають фундаментальну систему розв’язків для цього рівняння.

Структура загального розв’язку лінійного неоднорідного рівняння (44)

дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння та частинного розв’язку

неоднорідного рівняння і записується у вигляді

(47)

Лінійне однорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами має вид

(48)

де сталі величини.

Якщо розв’язок рівняння (48) шукати у вигляді функції , то характеристичне рівняння для цього рівняння має вид

(49)

Якщо корені характеристичного рівняння (49):

1) дійсні різні , то загальний розв’язок рівняння (48) записують у вигляді

(50)

2) дійсні рівні , то загальний розв’язок рівняння (48) записують у вигляді

(51)

3) комплексно спряжені ( - уявна одиниця), то загальний розв’язок цього рівняння має вигляд

(52)

Частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння зі сталими коефіцієнтами виду

(53)

де - неперервна функція, можна знайти методом варіації сталої, або іншими частинними методами.

Приклад 38.

Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння для заданого диференціального рівняння за формулою (49). Одержуємо

Корені дійсні різні. Тепер за формулою (50) запишемо загальний розв’язок

Для знаходження констант C1 та C2 підставимо початкові умови в загальний розв’язок та його похідну . Одержимо

або таку систему рівнянь:

Відповідь. Частинний розв’язок рівняння має вигляд 37.