§ 54. Построение эмпирической линейной функции методом наименьших квадратов
незэ виси мой переменной і и ті соответствующих им значений уьїй, ¦¦ функции. Требуется установить функциональную зависимость величины у от величины я, те.
найти такую функцию, которая приближенно (но наилучшим образом) описывала зависимость у от х. Эта функцияL кроме х, зависит ещё от m фиксированных неизвестных величин а,й»с9... * называемых параметрами.Вид функции у я, с?...) устанавливается или нэ теорети
ческих соображений, или на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих наблюдаемым значенням Наиболее часто встречающимися функциональными зависимостями являются у — ах 4 Ь, у = ab*r у = а 4 -t у = ахьл у = ахг 4 bx 4- с н другие. 1
После выбора функциональной зависимости естественно было бы подобрать параметры а, 6, с,.,. так, чтобы при значении аргумента xuZi'X&i- ^Xn функция / принимала бы значения уцУ2іУз, - і Ун.
т.е. выполнялись равенства
У2 /(х^аАс,...), ^
ЇМ =
Однако значении XLi**¦ і^n и j/i) Получены в ре~
зультате наблюдений (измерений) и определены с некоторой ошибкой (результат всякого измерения, каким бы точным оно ни было, содержит ошибку), поэтому равенства (1) следует рассматривать как приближенные. Обозначим через Ль Дз,, Д„ погрешность а этих приближённых равенствах, т е
(2)
УІ, Г -1,2,...,П.
Ді =f(xi,atb,) Рассмотрим сумму;
(3)
S « А* + Д* 4 + Д* = Е Д? - ? [/(гцаЛо.-) - №Г
і— L
{=1
Подбирал параметры apb, с,... так, чтобы эта сумма квадратов была наименьшей (отеща н происхождение названия метода наименьших квадратов), мы тем самым сделаем достаточно малыми и сами ДІ- Таким образом, задача свелась к нахождению параметров а, Ь,с,,.. „ при которых функция S^QjЬ, да и> дь до Если эта система имеет единственное решение, то это и будет искомое значение параметров. Пусть зависимость между хну линейная: у — ах Ь, где а и Ь — постоянные* В этом случае функция S имеет вид: S - Sfab) = Е \jh-~ {а*Н + Ь)]*, п dS тогда Ті dS дъ или в развернутом виде rt п 1=1 1^1 і=і і—1 Пусть 0 результате наблюдений имеем — 1, Х2 — % = 3, — = 4; п — 4; у\ = 3, yi ^ 4, уъ ~ 5Т ^ = 19 Тогда: ? ада = 1'3+2'4 + 3'5 + 4-19 = 102, Х>і = + ^ + = 30, ¦і Л ? Ті = 1 4- 2 + з 4- 4 + 10, ? ж - З+ ¦4 +5 + 19- 31. Система уравнений (5) принимает вид 102 - 30(2 - Ю1> = 0, 31 - 10а- 4b ^ 0. 49 9 Решая эту систему, находим а — Ь = — 49 Э Искомая прямая єсть у = — х —