§ 54. Построение эмпирической линейной функции методом наименьших квадратов

незэ виси мой переменной і и ті соответствующих им значений уьїй, ¦¦ функции. Требуется установить функциональную зависимость величины у от величины я, те.

Вид функции у я, с?...) устанавливается или нэ теорети

ческих соображений, или на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих наблюдаемым значенням Наиболее часто встречающимися функциональными зависимостями являются у — ах 4 Ь, у = ab*r у = а 4 -t у = ахьл у = ахг 4 bx 4- с н другие. 1

После выбора функциональной зависимости естественно было бы подобрать параметры а, 6, с,.,. так, чтобы при значении аргумента xuZi'X&i- ^Xn функция / принимала бы значения уцУ2іУз, - і Ун.

т.е. выполнялись равенства

У2 /(х^аАс,...), ^

ЇМ =

Однако значении XLi**¦ і^n и j/i) Получены в ре~

зультате наблюдений (измерений) и определены с некоторой ошибкой (результат всякого измерения, каким бы точным оно ни было, содержит ошибку), поэтому равенства (1) следует рассматривать как приближенные. Обозначим через Ль Дз,, Д„ погрешность а этих приближённых равенствах, т е

(2)

УІ, Г -1,2,...,П.

Ді =f(xi,atb,) Рассмотрим сумму;

(3)

S « А* + Д* 4 + Д* = Е Д? - ? [/(гцаЛо.-) - №Г

і— L

{=1

Подбирал параметры apb, с,... так, чтобы эта сумма квадратов была наименьшей (отеща н происхождение названия метода наименьших квадратов), мы тем самым сделаем достаточно малыми и сами ДІ- Таким образом, задача свелась к нахождению параметров а, Ь,с,,.. „ при которых функция S^QjЬ,(4)

да и> дь до

Если эта система имеет единственное решение, то это и будет искомое значение параметров.

Пусть зависимость между хну линейная: у — ах Ь, где а и Ь — постоянные* В этом случае функция S имеет вид:

S - Sfab) = Е \jh-~ {а*Н + Ь)]*,

п

dS

тогда

Ті

dS

дъ

или в развернутом виде rt п

1=1 1^1 і=і і—1

Пусть 0 результате наблюдений имеем — 1, Х2 — % = 3, — = 4; п — 4; у\ = 3, yi ^ 4, уъ ~ 5Т ^ = 19 Тогда:

? ада = 1'3+2'4 + 3'5 + 4-19 = 102, Х>і = + ^ + = 30,

¦і Л

? Ті = 1 4- 2 + з 4- 4 + 10, ? ж - З+ ¦4 +5 + 19- 31.

Система уравнений (5) принимает вид

102 - 30(2 - Ю1> = 0, 31 - 10а- 4b ^ 0.

49 9

Решая эту систему, находим а — Ь = —

49 Э

Искомая прямая єсть у = — х —