<<
>>

§ 54. Построение эмпирической линейной функции методом наименьших квадратов

Пусть в результате наблюдений получены п значений ,хл
незэ виси мой переменной і и ті соответствующих им значений уьїй, ¦¦ функции. Требуется установить функциональную зависимость величины у от величины я, те.
найти такую функцию, которая приближенно (но наилучшим образом) описывала зависимость у от х. Эта функцияL кроме х, зависит ещё от m фиксированных неизвестных величин а,й»с9... * называемых параметрами.
Вид функции у я, с?...) устанавливается или нэ теорети
ческих соображений, или на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих наблюдаемым значенням Наиболее часто встречающимися функциональными зависимостями являются у — ах 4 Ь, у = ab*r у = а 4 -t у = ахьл у = ахг 4 bx 4- с н другие. 1
После выбора функциональной зависимости естественно было бы подобрать параметры а, 6, с,.,. так, чтобы при значении аргумента xuZi'X&i- ^Xn функция / принимала бы значения уцУ2іУз, - і Ун.
т.е. выполнялись равенства
У2 /(х^аАс,...), ^
ЇМ =
Однако значении XLi**¦ і^n и j/i) Получены в ре~
зультате наблюдений (измерений) и определены с некоторой ошибкой (результат всякого измерения, каким бы точным оно ни было, содержит ошибку), поэтому равенства (1) следует рассматривать как приближенные. Обозначим через Ль Дз,, Д„ погрешность а этих приближённых равенствах, т е
(2)
УІ, Г -1,2,...,П.
Ді =f(xi,atb,) Рассмотрим сумму;
(3)
S « А* + Д* 4 + Д* = Е Д? - ? [/(гцаЛо.-) - №Г
і— L
{=1
Подбирал параметры apb, с,... так, чтобы эта сумма квадратов была наименьшей (отеща н происхождение названия метода наименьших квадратов), мы тем самым сделаем достаточно малыми и сами ДІ- Таким образом, задача свелась к нахождению параметров а, Ь,с,,.. „ при которых функция S^QjЬ,(4)
да и> дь до
Если эта система имеет единственное решение, то это и будет искомое значение параметров.
Пусть зависимость между хну линейная: у — ах Ь, где а и Ь — постоянные* В этом случае функция S имеет вид:
S - Sfab) = Е \jh-~ {а*Н + Ь)]*,
п
dS
тогда
Ті
dS
дъ
или в развернутом виде rt п
1=1 1^1 і=і і—1
Пусть 0 результате наблюдений имеем — 1, Х2 — % = 3, — = 4; п — 4; у\ = 3, yi ^ 4, уъ ~ 5Т ^ = 19 Тогда:
? ада = 1'3+2'4 + 3'5 + 4-19 = 102, Х>і = + ^ + = 30,
¦і Л
? Ті = 1 4- 2 + з 4- 4 + 10, ? ж - З+ ¦4 +5 + 19- 31.
Система уравнений (5) принимает вид
102 - 30(2 - Ю1> = 0, 31 - 10а- 4b ^ 0.
49 9
Решая эту систему, находим а — Ь = —
49 Э
Искомая прямая єсть у = — х —
<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 54. Построение эмпирической линейной функции методом наименьших квадратов:

  1. 2.3 Статистические способы описания взаимосвязей между составляющими объекта измерения
  2. Корреляционная связь
  3. § 54. Построение эмпирической линейной функции методом наименьших квадратов
  4. Метод корреляционного моделирования
  5. Вопрос 3. Экономические модели и эксперименты.
  6. Содержание дисциплины
  7. в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь необходимо показать, какой интерес преследует это действие.
  8. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  9. Построение функции мультивариаитного спроса
  10. Подбор производственной функции
  11. Оценка функций краткосрочных затрат