<<
>>

Определение параметров функциональной зависимости методом наименьших квадратов

При совместном исследовании двух случайных величин по имеющейся выборке (х1, у2), (х2, у2),…,(xk, yk) возникает задача определения зависимости между ними.

Если вид функции y = f (x, a, b,...) задан, то требуется найти значения коэффициентов a, b,..., при которых yi наименее отличаются от f (xi). В методе наименьших квадратов коэффициенты должны быть такими, что принимает минимальное значение.

а) Линейная зависимость y = ax + b. Если , то из условия получаем:

б) Квадратичная зависимость y = (ax + b)2. Отсюда и система для определения a, b может быть получена по аналогии с предыдущим случаем с помощью замены yi на :

в) Показательная зависимостьЛогарифмируя, получаем: lny=ax + b, и система уравнений для a, b имеет вид:

г) Зависимость вида Тогда y2 = ax + b, и условия для а и b можно задать так:

д) Логарифмическая зависимость y = ln(ax + b), то есть ey = ax + b, и

Пример 5.

Найти параметры зависимости между х и у для выборки

xi 1,4 1,7 2,6 3,1 4,5 5,3
yi 2,5 4,7 18,3 29,8 74,2 110,4

для случаев: 1) линейной зависимости y = ax + b;

2) квадратичной зависимости y = (ax + b)2;

3) показательной зависимости y = eax + b.

Определить, какая из функций является лучшим приближением зависимости между х и у.

Решение.

По виду выборки достаточно очевидно, что связь между х и у скорее всего не является линейной – у растет не пропорционально х. Проверим это предположение, найдя коэффициенты а и b для каждой из функций. Для этого вычислим предварительно = 3,1; = 40,0;

Теперь можно решать линейные системы для а и b:

1) то есть линейная зависи-мость имеет вид: у = 27,34х – 44,74.

2) квадратичная функция:

у = (2,29х – 1,68)2.

3) показательная функция:

у = е0,94х + 0,04.

Вычислим значения

:

yi 2,5 4,7 18,3 29,8 74,2 110,4
(yi)лин -6,46 1,74 26,34 40,0 78,29 100,13 379,93
(yi)кв 2,33 4,9 18,27 29,37 74,4 109,35 1,397
(yi)показ 3,85 5,09 11,67 18,8 69,5 146,66 1503,81

Итак, наилучшим приближением является квадратичная функция.

<< | >>
Источник: Симонов А.А., Выск Н.Д.. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методические указания и варианты курсовых заданий. Москва - 2005. 2005

Еще по теме Определение параметров функциональной зависимости методом наименьших квадратов:

  1. 1.3.2 Математическая формулировка задачи обработки навигационных измерений навигационного приемника при потере свойств целостности СРНС
  2. 3.3 Аналитическое исследование чувствительности алгоритма к выбору параметра регуляризации
  3. 1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
  4. 2.3 Статистические способы описания взаимосвязей между составляющими объекта измерения
  5. Метод наименьших квадратов.
  6. Оценка математической модели прогнозирования.
  7. Корреляционная связь
  8. Метод корреляционного моделирования
  9. Метод экспертных оценок
  10. Вопрос 3. Экономические модели и эксперименты.
  11. Содержание дисциплины
  12. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  13. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  14. Метод наименьших квадратов
  15. §6. Корреляционная зависимость
  16. з. Основные уравнения и задачи математической физики