4. 1. Метод наименьших квадратов
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами , где – общее количество точек.
Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности.
Рис. 12
При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислить значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.
Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость , при которой обращается в минимум. Погрешность приближения оценивается величиной . В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен . Формула минимизируемой функции примет вид . Условия минимума можно записать, приравнивая нулю частные производные по всем переменным, .
Получим систему уравнений
или , .
Эту систему уравнений перепишем в следующем виде:
, .
Введем обозначения: . Последняя система может быть записана так: , .
Её можно переписать в развернутом виде:
.
Матричная запись системы имеет следующий вид: . Для определения коэффициентов , и, следовательно, искомого многочлена, необходимо вычислить суммы и решить последнюю систему уравнений. Матрица этой системы является симметричной и положительно определенной.
Погрешность приближения в соответствии с исходной формулой составит
. Рассмотрим частные случаи и .
Линейная аппроксимация .
.
;
, .
Отсюда система для нахождения коэффициентов имеет вид:
.
Её можно решить методом Крамера.
Квадратичная аппроксимация .
.
.
.
, .
Или в развёрнутом виде
Решение системы уравнений находится по правилу Крамера.
Пример. Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения в точках , приведены в следующей таблице.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
-1 | 1 | 2 | 4 | 6 |
Вычислим коэффициенты по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация ; .
Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена первой степени имеет вид:
.
Решая эту систему, получим:
.
.
Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена второй степени имеет вид:
.
И коэффициенты равны:
. Тогда
.
Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3.
Таблица 3
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
-1 | 1 | 2 | 4 | 6 | |
-1 | 0,7 | 2,4 | 4,1 | 5,8 | |
-1 | 0,62 | 2,24 | 4 | 6,9 |
Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит:
.
.