<<
>>

4. 1. Метод наименьших квадратов

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами , где – общее количество точек.

Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности.

Рис. 12

При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислить значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.

Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость , при которой обращается в минимум. Погрешность приближения оценивается величиной . В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен . Формула минимизируемой функции примет вид . Условия минимума можно записать, приравнивая нулю частные производные по всем переменным, .

Получим систему уравнений

или , .

Эту систему уравнений перепишем в следующем виде:

, .

Введем обозначения: . Последняя система может быть записана так: , .

Её можно переписать в развернутом виде:

.

Матричная запись системы имеет следующий вид: . Для определения коэффициентов , и, следовательно, искомого многочлена, необходимо вычислить суммы и решить последнюю систему уравнений. Матрица этой системы является симметричной и положительно определенной.

Погрешность приближения в соответствии с исходной формулой составит

. Рассмотрим частные случаи и .

Линейная аппроксимация .

.

;

, .

Отсюда система для нахождения коэффициентов имеет вид:

.

Её можно решить методом Крамера.

Квадратичная аппроксимация .

.

.

.

, .

Или в развёрнутом виде

Решение системы уравнений находится по правилу Крамера.

Пример. Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения в точках , приведены в следующей таблице.

1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
-1 1 2 4 6

Вычислим коэффициенты по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация ; .

Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена первой степени имеет вид:

.

Решая эту систему, получим:

.

.

Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена второй степени имеет вид:

.

И коэффициенты равны:

. Тогда

.

Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3.

Таблица 3

0 1 2 3 4
1 2 3 4 5
-1 1 2 4 6
-1 0,7 2,4 4,1 5,8
-1 0,62 2,24 4 6,9

Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит:

.

.

<< | >>
Источник: Котюргина, А.С.. Численные методы: учеб. пособие / А. С. Котюргина. – Омск: Изд-во ОмГТУ,2010. – 84 с.. 2010

Еще по теме 4. 1. Метод наименьших квадратов:

  1. 1.3.1. Квазистационарные методы испытаний солнечных коллекторов
  2. 1.3.5. Методы тепловых испытаний солнечных водонагревательных установок
  3. 3.1. Обзор существующих методов и средств моделирования
  4. 5.1 Современные методы оценивания спектральной плотности мощности
  5. Метод наименьших квадратов.
  6. 9.4. Методика расчета тарифных ставок
  7. § 54. Построение эмпирической линейной функции методом наименьших квадратов
  8. Метод корреляционного моделирования
  9. Метод экспертных оценок
  10. 4.5. Метод наименьших квадратов.
  11. Метод наименьших квадратов
  12. Глава 5Методы дискретизации задач математическойфизики
  13. 3. Вариационные методы
  14. Метод наименьших квадратов
  15. 4. 1. Метод наименьших квадратов
  16. 6.2.1 Методы математической статистики
  17. 2.8. Построение квадратичной регрессионной модели по методу наименьших квадратов
  18. Определение параметров функциональной зависимости методом наименьших квадратов