III.6. Методы Нордсика

Нордсик предложил класс многошаговых методов, позволяющих изменять шаг удобным способом. Уже сам автор указал, что его методы эквивалентны в некотором смысле неявным методам Адамса.

Идея Нордсика состоит в том, чтобы представить многочлен, аппроксимирующий y_n(x), через производные от нулевого до k‑го порядка включительно, т.е. с помощью вектора (“вектора Нордсика”):

. (6.1)

Величины y_n^(j) имеют смысл приближенных значений для y^(j)(x_n) где y(x) — точное решение дифференциального уравнения

. (6.2)

Чтобы определить процедуру интегрирования, необходимо задать правило нахождения Z_n+1 по известным Z_n и дифференциальному уравнению (6.2). При использовании разложения в ряд Тейлора (например, при k = 3) такое правило имеет вид:

, (6.3)

,

,

,

где значение e выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство

. (6.4)

Подстановка (6.4) во второе соотношение из (6.3) дает

,

где

.

С учетом этого выражения для e метод принимает вид:

,

, (6.6)

,

.

Первое уравнение — неявное относительно y_n+1, а остальные — явные. Следует отметить, что если величины y_n^(j) достаточно точно аппроксимируют y^(j)(x_n), то значение e аппроксимирует y⁽⁴⁾(x_n). С точки зрения точности это свойство выглядит привлекательно. Но, к сожалению, метод (6.6) является неустойчивым.

Чтобы преодолеть указанную трудность, Нордсик предложил заменить постоянные 1/4, 1, 3/2, 1, стоящие в (6.6) перед скобками, на произвольные значение (l₀, l₁, l₂, l₃) и использовать эту дополнительную степень свободы для достижения устойчивости.

В таблицах 6.1 и 6.2 даны векторы l, соответствующие неявным методам Адамса и ФДН-методам.

Таблица 6.1

Коэффициенты l_j k‑шаговых неявных методов Адамса

l₀ l₁ l₂ l₃ l₄ l₅ l₆

k = 1 ½ 1

k = 2 5/12 1 1/2

k = 3 3/8 1 ¾ 1/6

k = 4 251/720 1 11/12 1/3 1/24

k = 5 95/288 1 25/24 35/72 5/48 1/120

k = 6 19087/60480 1 137/120 5/8 17/96 1/40 1/720

Таблица 6.2

Коэффициенты l_j k‑шаговых ФДН-методов

l₀ l₁ l₂ l₃ l₄ l₅ l₆

k = 1 1 1

k = 2 2/3 1 1/3

k = 3 6/11 1 6/11 1/11

k = 4 12/25 1 7/10 1/5 1/50

k = 5 60/137 1 225/274 85/274 15/274 1/274

k = 6 20/49 1 58/63 5/12 25/252 1/84 1/1764

13. Самарский А.А. Введение в численные методы. — М.: Наука.

Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. —272 с.