Тема 1 Введение.

В настоящее время в науке и инженерной практике широко используется метод математического моделирования.

Математическим моделированием[1] называется изучение реального объекта на ЭВМ с помощью математической модели этого объекта.

Например:

1. Совершенствование ядерного оружия путем расчетов на супер-ЭВМ. Удалось отказаться от испытаний ядерного вооружения.

2. Компьютерные тренажеры (симуляторы), созданные на основе математических моделей, появились сначала у военных, сейчас они широко применяются в производственном и учебном процессе.

Математическая модель – это приближенное математическое описание объекта (технологического процесса, реакции, явления и т.д.).

Примеры простейших моделей:

уравнение состояния идеального газа (1.1)

F = закон всемирного тяготения (1.2)

закон сохранения энергии (1.3)

закон Кулона (1.4)

закон сохранения энергии для фотона, (1.5) где v – частота излучения.

Сложные модели описывают объект точнее (адекватнее[2]).

Математическое моделирование позволило исследовать на ЭВМ очень сложные процессы, такие, например, как глобальные климатические изменения в результате применения ядерного оружия (натурный эксперимент имеет катастрофические последствия).

В литературе математическое моделирование часто принято называть вычислительным экспериментом.

Основные этапы математического моделирования:

1. Разработка модели – формализация. Изучается в прикладных и фундаментальных науках.

2. Разработка метода (алгоритма) решения уравнения модели – алгоритмизация.

3. Создание программы – программирование. Изучается в информатике.

4. Расчеты, анализ результатов – практическое использование.

Результат

Программа

			алгоритма

Предметом вычислительной математики являются численные методы (алгоритмы) решения математических задач, возникающих при исследовании реальных объектов методом математического моделирования.

Например, пусть нужно найти R из уравнения (1.2) или (1.4), из уравнения (1.3) или c из уравнения (1.5). Что общего в этих задачах? То, что нужно решить уравнение вида:

x 2 = a (1.6)

Вычислительная математика не рассматривает решения конкретных задач (1.2÷1.5), а изучает их решение в общем, абстрактном виде (1.6).

С точки зрения обычной математики точное решение уравнения (1.6) имеет вид:

= ,

причем если a > 0 , то два вещественных решения;

если а = 0 , то тривиальное решение ;

если а < 0, то вещественных решений нет.

Но знак не решает задачу, так как не дает практического способа (алгоритма) вычисления значения х для конкретного значения а.

Вычислительная математика предлагает следующий алгоритм вычисления x*:

1. Выбрать начальное значение х, например =а. Это начальное приближение решения.

2. Вычислять новые приближения решения xi по формуле:

xi = (1.7)

до достижения условия:

e (1.8)

Здесь i = 1,2,.. – номер вычисления - итерации.

e – требуемая точность.

Пример. Нужно решить уравнение с точностью e=0,001.

Зададимся ,

Вычислим первое приближение: ,

оценим точность | x1 – x0 | = .Требуемая точность не достигнута, нужно продолжить расчет.

Вычислим второе приближение: ,

оценим точность .

Вычислим третье приближение: ,

оценим точность .

Вычислим четвертое приближение: ,

оценим точность − точность достигнута.

Ответ: .

Точное значение (до 8 значащих цифр):

Рассмотренный пример демонстрирует принципы, общие для итерационных методов решения задач вычислительной математики:

1. Исходная задача (1.6) заменяется другой задачей – вычислительным алгоритмом по формулам (1.7), (1.8), где используются только арифметические операции +. Принято называть (1.7) формулой итерационного процесса (итерационным процессом), (1.8) - условием завершения итерационного процесса.

2. Задача (1.7) содержит новый параметр i – номер итерации. Очевидно, что число итераций влияет на точность решения. Если , то итерационный процесс является сходящимся – позволяет получить решение исходной задачи (1.6).

3. Решение, полученное итерационным методом, всегда является приближенным, так как точное решение получить невозможно – нужны бесконечные вычисления.

Важно подчеркнуть, что формула (1.7) получена из (1.6) путём тождественных преобразований:

Но не всякое тождественное преобразование позволяет получить сходящийся итерационный процесс.

Например:

a)

Выполним расчет при а=3:

; ; ;

Итерационный процесс не сходится; значения приближений колеблются.

б)

; …

Итерационный процесс расходится.

Рассмотренный пример иллюстрирует один из видов численных методов – итерационный.

Виды численных методов:

1. Прямые – решение получают за конечное число арифметических действий.

2. Итерационные – точное решение может быть получено теоретически в виде предела бесконечной сходящейся последовательности вычислений.

3. Вероятностные – методы случайного поиска решения (угадывания).

Все виды численных методов позволяют получить только приближенное решение задачи, то есть численное решение всегда содержит погрешность.