3.3.7. Иррациональные выражения

Алгебраическое выражение называется иррациональным, если оно содержит какую-нибудь величину (букву) под знаком корня.

Пусть S –данное выражение, содержащее корни.

Определение.

Знание сопряженного множителя позволяет представить выражение в виде выражения, не содержащего корней либо в числителе, либо в знаменателе: где К1 – сопряженный множитель числителя Р, К2 – сопряженный множитель знаменателя Q. Это преобразование и называется уничтожением иррациональности (соответственно в числителе или в знаменателе).

Рассмотрим важные частные случаи отыскания сопряженного множителя.

1. Для выражения вида

где p,q,... ,l– натуральные числа, меньшие п (п≥ 2) , сопряженный множитель К есть так как SK = XY...Z.

2. Для выражения вида , сопряженный множитель есть так как

Аналогично, для выражения вида: сопряженный множитель ‑

3. Для выражения вида сопряженный множитель так как для любых X и Y.

4.

Пример 1. Выполнить действия: .

Решение. Сначала освободимся от иррациональности в знаменателе, для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Для сопряженным множителем будет , для сопряженный множитель есть , а для сопряженный множитель равен .

==.

Пример 2. Освободиться от иррациональности: .

Решение. Сопряженный множитель для выражения равен

. Используем тождество (a-b)(a2+ab+b2)= a3+b3 .

= = = .