3.3.7. Иррациональные выражения
Алгебраическое выражение называется иррациональным, если оно содержит какую-нибудь величину (букву) под знаком корня.
Пусть S –данное выражение, содержащее корни.
Определение.
Сопряженным множителем относительно S называется всякое выражение К, не равное тождественно нулю, такое, что выражение S К не содержит корней.Знание сопряженного множителя позволяет представить выражение 
в виде выражения, не содержащего корней либо в числителе, либо в знаменателе: 
где К1 – сопряженный множитель числителя Р, К2 – сопряженный множитель знаменателя Q. Это преобразование и называется уничтожением иррациональности (соответственно в числителе или в знаменателе).
Рассмотрим важные частные случаи отыскания сопряженного множителя.
1. Для выражения вида 
где p,q,... ,l– натуральные числа, меньшие п (п≥ 2) , сопряженный множитель К есть 
так как SK = XY...Z.
2. Для выражения вида 
, сопряженный множитель есть 
так как 
Аналогично, для выражения вида: 
сопряженный множитель ‑ 
3. Для выражения вида 
сопряженный множитель 
так как 
для любых X и Y.
4.
Для выражения вида
сопряженный множитель 
так как 
для любых X и Y. Пример 1. Выполнить действия: 
.
Решение. Сначала освободимся от иррациональности в знаменателе, для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Для 
сопряженным множителем будет 
, для 
сопряженный множитель есть 
, а для 
сопряженный множитель равен 
.
=
=
.
Пример 2. Освободиться от иррациональности: 
.
Решение. Сопряженный множитель для выражения 
равен
. Используем тождество (a-b)(a2+ab+b2)= a3+b3 .
= 
= 
= 
.