4. Графическое решение уравнений

Яуже отметил, что основной целыо ранней аналитической геометрик было графическое решение уравнений, о чем в прежнее время руководства по аналитической геометрии говорили очень много.

Обычно на это обстоятельство не обращают внимания. Обращаясь же к сочинениям Декарта (1637) и Ферма (ок. 1637), мы ясно видим, что преимущественно интересовало их именно приложение геометрии к алгебре5. Ведь мы не находим в этих работах даже самых простых теорем чисто геометрического типа, доказываемых методом аналитической геометрии.

Первое время построение корней является основной задачей, но со временем эта задача сдвигается с первого плана, и если Декарт с нее начинает, то Лопиталь ею кончает".

Но к графическому решению уравнений открываются два пути: 1) изыскание уравнений, определяющих известные кривые, или, во всяком случае, кривые, которые вычерчиваются простым непрерывным движением; 2) определение геометрического значения простейших алгебраических уравнений.

По первому пути шел Декарт, по второму Ферма (независимо от Декарта).

В "Геометрии" Декарта видное место занимало решение так называемой задачи Паппа. В этой задаче даиы по положен то несколько прямых и требуется найти геометрическое место таких точек, что если из этих точек провести под данными углами к данным прямым отрезки, то отношение произведения некоторых из проведенных отрезков к произведению остальных будет постоянно. Эта задача у Декарта получает особенное значение только потому, что кривые, дающие ее решение, включают конические сечения, являясь естественным их обобщением. Декарт находит среди них и другие известные кривые, вычерчиваемые непрерывным движением.

Определяя уравнение кривой, данное каким-либо условием (т.е.

Ферма же приводит уравнение к такому виду, из которого непосредственно на основании теорем элементарной геометрии видно его геометрическое значение, или к такому виду, что в нем узнается одна из теорем Аполлония. При этом у Ферма приведение уравнения совершается или путем изменения формы посредством приведения к пропорции, или, что имеет особенное значение в аналитической геометрии, заменой х другой аналогичной величиной, относящейся не к Оу, а к Оу' || Оу в чем, конечно, Заключается эмбрион преобразования координат. Мы находим у Ферма геометрическое значение уравнений: В форме Ферма: В современной:

DA = BE ах = by (прямая, проходящая через начало координат)

Z - DA = BE ах - by = с (вообще прямая)

АЕ = Z ху = с (гипербола, отнесенная к асимптомам)

E2=DA х2 = ау|

, 2 Г (парабола)

A2=DE у =axj

В2 + А2 = Е2 х2 + у2=г2 (окружность)

X2 у2

В1 ± А2К2 = Е2 —1 (эллипс и гипербола)

Я обращаю внимание на метод Ферма приведения уравнения к системе уравнений, определяющих уже не одну, а две величины, и вытекаю-щий отсюда способ построения корней. При этом я в основном сохраняю обозначения самого Ферма.

Рассматривается уравнение 3-й степени:

A3+BA2 = Z2B, (3)

где гласная А стоит вместо нашего х, а свободный член Z2B берется в этой форме для однородности всех членов, как этого требовал Виэт7. Затем Ферма полагает

А3-)-ВА2 = ВАЕ

или

А2+ВА = ВЕ (4)

и вместе с тем по (3)

Z2B=BAE

или

Z2 = АЕ (5)

и корень уравнения (3) оказывается абсциссой точки пересечения параболы (4) и гиперболы (5).

Сущность этого метода состоит в том, что уравнение ф(х) = ф(х)

приводится к

<р(х) = 0(х,у) Ф(х) = 0(х,у),

где 0 (х, у) выбирается так, что по сокращении происходит упрощение.

Весьма вероятно, что корень этой методы следует искать в Regula aliza Кардана8.

Это кардановское правило состоит в приведении уравнения к системе двух уравнений, при этом таких, решение которых достигается без приведения к первоначальному путем исключения одного неизвестного.

xd+ax4+a2xJ+a3-bx3 (б)

приводится к системе уравнений

ху = а (7)

х3 +у3 + х2у + ху2 =Ь, (8)

а затем мы имеем:

2а(х+у) = 2х2у +2ху2 = (х + у)3 -х3 -у3 -х2у- ху2 =(х + у)3 -i-b . Уравнение же

(х + у)3 =2а.(х + у) + Ь (9)

разрешается с помощью формул Кардана относительно х + у, и окончательной системой является:

зс + у = с: ху = а, (10)

т.е. х, у определяются квадратным уравнением.

После Декарта и Ферма графическим решением уравнений высших степеней занимались ученые Слюз, Крег, Ньютон и другие математики XVII и XVIII вв.