3. Фузионизм античных математиков

Пожалуй, мы могли бы еще говорить о скрытом под геометрической формой определении кривой с помощью уравнения, если бы подход к парабо- ле, эллипсу и гиперболе был у Аполлония планиметрическим.

В настоящее время получение параболы, эллипса и гиперболы как сечений конуса перешло в область начертательной геометрии. Хотя в некоторых учебниках аналитической геометрии эта глава воспроизводится, но в них она иосит чисто геометрический характер, и в результате построений получается не уравнение, а основные свойства радиусов-векторов и директрис, определяющих эти кривые.

Но если идеи, лежащие в основе аналитической геометрии, следует признать чуждыми античным мыслителям, то этого нельзя сказать об основных целях аналитической геометрии. Тщательный анализ вскрывает, что эти цели были не очень далеки от тех, которые ставились античными математиками. Именно, основной целью геометрии Декарта и Ферма являлось графическое решение уравнений, к которому приводит алгебраизи- рованиое решение геометрических задач, и при этом преимущественно задач на построение. Это как раз та цель, которая и являлась главной целью исследования конических сечений у античных математиков.

Действительно, каким образом и с какой целью были открыты па-рабола, эллипс и птербола? Были ли они открыты как конические сечения? Или, может быть, им сперва было дано планиметрическое определение, а улсе потом было доказано, что они получаются при сечениях конуса?

Я думаю, что приходится склониться к первому предположению. Известно, что еще математик IV в. до. н.э. Менехм решал задачу об удвоении куба с помощью параболы и гиперболы или с помощью двух парабол, причем при изучении этих кривых брались конусы с прямым или тупым углом при вершине, а сечение производилось плоскостями, перпендикулярными к прямолинейно-образующей.

Следует иметь в виду, что в самой формулировке этих проблем оставалась неопределенность, не было точно зафиксировано требование вы-полнения построения с помощью евклидова комплекса: циркуля и линейки.

Сечения пирамид, цилиндров и конусов, видимо, интересовали математиков еще ранее. Так, Демокрит исследовал плоские сечения, параллельные основанию кругового конуса3.

Что античные математики допускали сдвиг в самом понимании классических проблем на построение, ясно видно улсе из самого наименования этих, а также других кривых, получаемых стереометрически, телесными местами, в отличие от плоских мест, каковыми являются прямая и окружность. Парабола, эллипс и гипербола прежде всего являются телесными местами, прежде всего они получаются стереометрически. Здесь следует вспомнить весьма сложное стереометрическое решение делосской проблемы удвоения куба Архитом, в котором фигурирует кривая на цилиндре, образуемая пересечением с движущейся параллельно себе окружнос-тью' .