1. Конические сечения античных математиков

Нелегко понять ход мыслей человека XVII в., а еще более - человека античного мира. Историки часто обнаруживают склонность проецировать настоящее в прошлое, в особенности при попытках изложения мыслейуче- ных древности на современном языке.

Совершенно таким же образом в "Конических сечениях" Аполло-ния (265-170 до н.э.) некоторые видят идеи аналитической геометрии; ио здесь необходим тонкий анализ. Прежде всего следует хорошо понять, что одинаковые результаты мохут получаться соверЩенно различными методами и на основании различных идей. Более того, нельзя видеть аналитическую геометрию и там, где античные операции над площадями, по выражению площадей алгебраическими формулами, обращаются в части формального аппарата, которым пользуется аналитическая геометрия ныне, совершенно так же, как в операциях метода неделимых, соответствующих операциям дифференцирования и интегрирования, нельзя усматривать чуждые этому методу идеи современного анализа.

Следует различать историю кривых второго порядка, или, вернее сказать, конических сечений, и историю аналитической геометрии. Первая начинается с Менехма, ученика Платона, вторая - только с Декарта и Ферма. Но при детальном изучении истории аналитической геометрии мы ие можем обойтись без труда Аполлония.

R

Кроме пятой книги "Конических сечений", трактующей о наибольших и наименьших величинах, все остальные части ^ труда Аполлония так или иначе входят в современные курсы аналитической геометрии; однако роль различных теорий и логичес- _ кис связи между ними же не прежние.

перь не имеют того значения, какое имели у самого Аполлония, и утратили почетное место, отдававшееся им в старых учебниках.

Отметим далее одну интересную В и игравшую валеную роль, но уже в XVII в. забытую теорему из "Конических се- В',1 чепий". Она состоит в том (фиг. 1), что если обозначить через МДГ МД, касательные в точках М, и М2, а через Т( и Т2 пересечения их с прямыми ОМ, и ОМ2, проходящими через центр О, то треугольники МД2Я и МД^ равновелики.

Вот другая теорема, которая играла, наоборот, большую роль в истории аналитической геометрии вплоть до Эйлера и обобщение которой явилось основной теоремой в теории алгебраических кривых, ведущей свое начало от Ньютона. Эта теорема состоит в том (фиг. 2), что отношение прямоугольников, построенных иа отрезках хорд МА|( МАг и MBt МВ2, равняется отношению прямоугольников на отрезках параллельных хорд

М'А;,М'А'2 И М'В2: МА|-МА;

М'А! .М'В;

(1)

мвгмв2 м'в;-м'в^

Наконец, укажем третью теорему, которая в настоящее время играет, пожалуй, еще большую роль, чем в XVII в. Сейчас она относится к теории поляр, причем в синтетической геометрии имеет не меньшее значение, чем в аналитической. Это теорема, утверждающая гармоничность точки А, из которой проведены касательные AT и AU, и точек С, В, D пересечения диаметра, проходящего через А, с кривой и хордой прикосновения (фиг. 3).

Заметим, что об асимптотах Аполлоний говорит больше, чем со-временные учебники; но точка зрения его на асимптоты совсем другая, чуждая тех понятий бесконечности и предела, которыми оперируем мы.

Вне сомнения, самыми важными после диаметральных свойств конических сечений являются у нас фокальные свойства и построения касательных. Так как у Аполлония ^ -—^ ^ / \\ в ID \ f /

/ U

Фиг. 3.

свойство радиусов-векторов не является определением эллипса и

гиперболы, а только производным q j в \D А

свойством, то фокусы ему приходится определять геометрически риторическим правилом и по существу весьма формально. Фокус эллипса, по Аполло кию, это точка, делящая большую ось на две такие части, что прямоугольник, построенный на них, равен четверти прямоуголь-

Ь 2

ника, построенного на параметре, т.

а

Те основные свойства, "симптомы" параболы, эллипса и гиперболы, в которых мы теперь видим уравнения этих кривых, у Аполлония не играют той роли, что в настоящее время.

Если переложить эти "симптомы" на алгебраический язык, то основное свойство выразится уравнением (2)

D .. і у ( х X У F В

у =2px + qx2, где q<0 для эллипса, q>0 для гиперболы и q = 0 для параболы. Уравнения в форме (2) приводятся только для выяснения происхождения терминов эллипса, д гиперболы, параболы (недостатка, избытка, равенства).

При этом для параболы квадрат на ординате у = CD равен прямоугольнику на абсциссе х = АС и отрезке 2р параметра ^ (параметр Аполлония равен удвоенному нашему). Для эллипса этот квадрат равен g меньшему прямоугольнику, полученному Фиг. 4.

таким построением. В конце А диаметра 2В = 2а восстанавливается пер-пендикуляр АЕ - 2'р, точки Ей В соединяются прямой, пересекающей

CF1ABB точке F. Тогда квадрат на CD равен прямоугольнику ABFG, ибо

V2

GF: х = р:а, т.е. GE-EF :

и у2 = 2рх - qx2, где q =— (фиг. 4). Аналогично проводится построение и для гиперболы.

Перевод формулировки античной в современную алгебраическую, казалось бы, наводит на мысль о том, что отрезки АС и CD суть здесь координаты, а у2 - 2рх + qx2 уравнение кривой. Но в действительности у Аполлония иет идей аналитической геометрии1.

В основе аналитической геометрии лежат два принципа2. Первый из них - координатный принцип можно формулировать так: изучение взаимного расположения геометрических объектов сводится к изучению их расположения относительно некоторых определенных неизменных объектов. Этот принцип связан с понятием координаты как величины, характеризующей положение объекта - прежде всего точки - относительно неизменных объектов (например, осей Ох и Оу).

Конечно, у самого Аполлония мы ие находим понятия о координате. Он не мыслил /1С и CD как абсциссу и ординату, определяющие положение точки иа плоскости, а только как некоторые линии, связанные с точкой и кривой.

Я формулирую этот первый принцип в столь общей форме, так как считаю, что в истории аналитической геометрии весьма важна эволюция этого принципа, начиная с его частной формы - "декартовых координат" и кончая линейными плюкеровыми координатами прямой, параллельными координатами и, наконец, проективными координатами.

Второй принцип определяемости носителя уравнением состоит В том, что свойство, характеризующее элементы, принадлежащие носителю, выражается уравнением между признаками элементов.

И здесь я беру самую общую формулировку, под которую подводится не только уравнение между координатами, но, например, и уравнение между радиусом кривизны и углом смежности в натуральной геометрии, являющейся одной из дальнейших ступеней развития аналитической геометрии.

Если даже считать величииы, которыми оперирует Аполлоний, за координаты, то можно лн сказать, что он оперирует уравнением? Я думаю, что нет.

В аналитической геометрии не следует видеть только одну алгеб- раизацшо "конических сечений" Аполлония, в ней следует видеть еще выдвижение совершенно чуждых античной мысли идей, созданных философией XVII в.