§ 5. Гербарт и Бальцапо.
От Канта идут два главных течения; первое через Фихте и Шеллинга к Гегелю296, второе к Гербарту.
Первое развертывает телеологическое мировоззрение, после разрушения кантов с кой критикой старой догматики, ищет новых объяснительных принципов в новой диалектической логике, из которой изъят закон противоречия, стараясь построить с помощью ее общую схему мирового процесса, идущего по трехчленной системе: тезиса, антитезиса и их при-миряющего синтеза, к определенной цели.
Второе, ясно выраженное каузальное направление, остается при силлогистической логике, и вскрытую Кантом немощность догматизма в сфере метафизических построений, видит в скрытой противоречивости тех общих понятий, которыми пользовался догматизм.
Второе направление, сперва более слабое, в конце концов побеждает.
Следует иметь в виду, что оба направления иителлектуалистичны.
Во взглядах на пространство и на математику они решительно становятся против Канта. Для них математические положения являются аналитическими, связанными с понятиями логически, хотя последнее понимается различно Гегелем и Гербаргом.Оба концептуализируют пространство, первый - пытаясь включить его в свою диалектическую цепь297 , второй, стараясь установить надлежа-щим образом очищенное понятие пространства, из которого чисто силлогически извлекалось бы содержание геометрии.
Для Гегеля пространство дается уже готовым, как и все вообще понятия.
Он не отвергает содержащиеся противоречия, ибо все понятия, через которые движется абсолютная идея, содержат противоречия, которые, снимаясь, ведут к понятиям, выше стоящим на диалектической лестнице.
Гербарт же, наоборот, исправляет понятие, отбрасывая из признаков (а, Ь, с ... d, е, I) противоречивые (d, е, f), а иногда пополняя еще новыми (а', Ь', с') так, чтобы силлогистический аппарат мог быть приведен в движение.
Конечно, такая чистка понятий ведет к построению чрезвычайно общих схем вселенной и, в конечном итоге, дает с увеличением объема обеднение содержания исправляемых понятий.
Гегелевское настроение, развивавшее дух системы, склоняющее к разысканию на основании невыводимых, но предполагаемых принятой системой, принципов недостающих звеньев этой системы, давало нестрогую, но быстро идущую вширь математику.
Гербартовское же, наоборот, разрушало систему вскрываемыми логическими связями, разрушая прежнюю симметричность аксиоматических систем, насильственно обращая положения в определения и искажая последние с целью сделать их более логически плодовитыми; оно устремлялось вглубь, требуя замены обширного, но малообоснованного материала нестрогой математики, немногим, но хорошо обоснованным, материалом строгой математики.
Наряду с эмпирическим пространством, Гербартом выдвигается другое - умопостигаемое, очищенное и являющееся уже не формой интуиции, а концепцией, пространство, вмещающее гербартовы реалии, этот метафизический остаток от очистки материала опыта.
Чрезвычайно общее гербартовское пространство, возникающее из понятий совместности, смежности и раздельности, математически не жизненное, является отцом грассмановского протяжения298 и дедом римановского многообразия299 - summum genus300 пространства, объемлющего и евклидово и неевклидово пространства. Таким образом, гербартовское построение ведет к метагеометрии.
Но оно же ведет к математической аксиоматике вообще, ибо по существу философия Гербарта - это метафизическая аксиоматика.Больцано301 дает в чистой математике то, что старался дать в метафизике Гербарт. Он исправляет понятие и старается привести с помощью уже исправленных понятий в движение логический аппарат над чисто ло-гическим содержанием. Конечно, прежде всего должна подвергнуться радикальной переработке бесконечность. Эта работа только начата Больцано, а закончена Г. Кантором302.
Больцановская бесконечность - это ие бесконечность Фонтенеля303 , ибо такая бесконечность несет противоречие, ее же снедающее. Бесконечная величина по Больцаио - это агауальная бесконечность, которая возрастает безгранично и может быть сделана больше всякой данной величины, но это не то, что ие способно к дальнейшему возрастанию, а то, что является последним в ряду возрастающих величин. Это то, что больше всякой данной величины, это первая величина высшего класса, подымающегося над классом конечных величин.
Эта бесконечность, действительно, очищена согласно гербартовс- кому рецепту, но она бесплодна, так как актуальная бесконечность, слу-жившая к обоснованию положений анализа, изгоняется оттуда Больцано. Рабочей же идеей является потенциальная бесконечость в маскирующей ее форме переменной величины, которая может быть сделана более всякой данной положительной величины. Актуальная бесконечность, чтобы сделаться тоже рабочей идеей, чтобы создать логическое обоснование анализа, должна была подвергнуться дальнейшей проработке.
Взаимно однозначное соответствие между элементами двух бесконечных множеств у Больцано еще не представляет определения их равенства. Множество точек на конечном отрезке не указывается равным множеству точек на всей прямой, как у Кантора, но Больцано ясно сознает, что здесь имеет место взаимнооднозначное соответствие, которое для конечных множеств является условием необходимым и достаточным для равен-ства.
В канторовсюй переработке актуальная бесконечность получает приоритет в сравнении с потенциальной, так как он стремится к логическому обоснованию арифметики, очищенному от интуиции теории ирраци-ональных чисел. Это привело Кантора к пониманию иррационального числа кис символа так называмого фундаментального ряда рациональных чисел:
а,, а,, а, ... ап>
удовлетворяющих условию Iim(av+I1 -av) = 0 , т.е. к положению в самой
основе анализа актуальной бесконечности совокупности некоторых элементов.