§ 4. Гегель и Попеле.
Я не буду здесь развивать историю немецкой спекулятивной философии, выводить гегельянские идеи из кантовского критицизма. Указав отрывок из методической литературы по чистой математике с явным влиянием кан- товских идей, я представляю теперь же математические идеи, в которых определенно звучит гегельянский мотив.
Кант разбил веру в силу силлогистической логики, в возможность решения с ее мощью метафизических проблем.
Спекулятивная философия Шеллинга и Гегеля281 не возвращается к докантовской точке зрения, но вдет дальше, стараясь найти для вселенной схему, подчиненную иной, диалектической логике, не подчиняющейся закону противоречия. Вся вселенная представляется окаменелой мыслью, развитием идеи, идущей через иерархию понятий, располагающихся в троицы: тезис, антитезис и примиряющий их синтез.Первая стадия - чистое бытие (тезис), которое таит в себе противоречие, так как при своей полной бессодержательности совпадает с ему противоположным понятием небытия. Оба понятия входят как моменты в понятие уже высшего порядка становления, в котором указанное противоречие снято.
Качество и количество, тоже скрывая в себе противоречие, примиряются в мере282 и т.д.
Молено сказать, что к диалектике философскую мысль привела идея предела, если только понимать последнюю не в узкоматематическом смысле, а в более общем метафизическом или гносеологическом смысле.
При признаваемой рационализмом актуальной бесконечности, предел есть одно из значений, последнее значение переменного, но с точки зрения отвергающих эту бесконечность эмпиризма и критицизма, предел недостижим, он вне сферы изменения переменного.
Пусть математический объект X определяется некоторыми признаками
а, Ь, с...
причем эти признаки всегда подчиняются некоторым условиям, например, а > 0. Объект X будет оставаться, как бы а ни было мало.
Но что будет при а = 0? С одной стороны, не X, так как X определен при условии а > 0, с другой стороны, это X, ибо а = 0 относится к пределу X, а свойства X, которые остаются неизмененными при изменении X, принадлежат и пределу X.
Очень характерно определение предела в учебнике лежандровско- готипаБескибы283 , выраженное в терминах гегелевской логики: "Предел - это наиболее внешнее вещи, в чем снимается то, что было, и начинается то, чего не было".
Таким образом, имеются два момента А и В внешние друг другу, согласно гегелевской терминологии.
Когда А перестает быть А, становясь В, а В перестает быть В, становясь А, мы имеем пределы А.
Это не математическое, а чисто метафизическое определение, старающееся захватить определение общего, но смутного понятия предела, не поддающегося математизации, проводимое в духе гегелевской диалектики, выступает, как синтез противоположностей А (тезис) и В (антитезис).
Это направление мысли породило то, что можно назвать понятия- мн-вырождениями, или несобственными понятиями.
Угол определяется, по Бертрану284, кис часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми.
Но уменьшайте также смежный угол. В пределе пересечения уже не будет, и одна сторона будет служить продолжением другой.С одной стороны это угол. Ибо/ если скажем, что это не угол, то можно спросить, с такого же момента АОВ перестает быть углом. С другой стороны, мы можем сказать, что это ие угол, ибо мы имеем ие пересекающиеся, а совпадающие прямые.
Таким образом выступает понятие развернутого угла (Gerader Winkel).
Прямой угол определяется уже как половина развернутого угла, так что в последующих учебниках отпадает теорема о равенстве двух прямых углов. Доказательство же теоремы о сумме двух смежных углов сводится просто к замечанию, что эта сумма равна развернутому углу, уже по самому определению прямого угла вдвое большему прямого.
В гегелевский период возникает и понятие о бесконечно удаленной точке285 прямой. Сам Евклид нигде не обнаруживает такого понятия. Вращающийся в области бесконечного Кестнер28" говорит о бесконечном продолжении прямой, но вводит ие одну, а две бесконечно удаленные точки прямой. Но кестнеровские бесконечно удаленные точки забываются другими авторами.
Бесконечно удаленная точка прямой, бесконечно удаленная прямая плоскости и бесконечно удаленная плоскость пространства - эти так называемые необыкновенные287 элементы288 проективной геометрии, которые являются в гегелевском смысле диалектическими элементами геометрии.
Две параллельные прямые не пересекаются, но, с другой точки зрения, они пересекаются в бесконечно удаленной точке, ибо основной принцип теории пределов, выработанный предшествующей стадией математической мысли, заставляет признать, что свойство пересекаемости при вращении одной из прямых вокруг одной из ее точек остается и в предельном
положении параллельности.
В связи с этим возникает понятие луча, и угол определяется как различие направлений двух выходящих из одной точки лучей289.
В эту эпоху Понслэ (1818) провозглашает принцип непрерывности™0, по которому свойства, доказанные для какой-нибудь фигуры, распространяются и на случаи вырождения, если к этому случаю можно подойти непрерывным изменением.
Так, например, пространственная теорема Дезарга591: "Если соот-ветствующие вершины двух треугольников лежат на прямых, сходящихся в одной точке, то соответствующие стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой", влечет в силу этого принципа плоскую теорему Дезарга, отвечающую предельному случаю наклонения друг к другу плоскостей треугольников.
Этот принцип или аксиома, решительно оспариваемая Коши, не найдя себе математического обоснования, была потом признана имеющей не логическое, а лишь эвристическое значение. Применение ее давало логику не доказательство, а систему, которая делает из совокупности теорем связное целое, в котором один момент вызывает в силу намеченного плана системы и смежные моменты.Главные элементы геометрии распределяет в диалектическую лестницу уже сам Гегель, а дальнейшую обработку этой диалектики геометрии берет на себя Франц292 , вызывая у Шоттеиа293 насмешку и значитель-но более серьезное к себе отношение у Дельбефа294.
Синтез точки как рода пространства (тезис) него отрицания (антитезис), конечно, не имеет значения.
Не иначе дело обстоит с диалектикой прямой, являющейся - как количество - мерой расстояния (см. Лежандр), с другой же стороны, - как качество - направлением. То, что здесь мыслится о прямой, мыслится о всем пространстве.
Пространство является не только как количество, но и как качество, и последний момент не сводится к первому. Нельзя числом определить "направо" или "налево", или другие факты распорядка геометрических объектов.
Идея, что пространство не только количество, но и качество, пока еще метафизическая идея.
Но уже в 40-х гг. XIX столетия она становится математической, когда создается геометрия положения Штаудта.
Двум моментам: количеству (расстояние) и качеству (направление) должны отвечать (по Бретшнейдеру, 1844, Шннц-Дюмонду) две геометрии, исследующие: 1) положение, 2) величину, которые вместе образуют 3) органическую геометрию (гегелевский синтез-мера). Здесь интересно привести несколько определений геометрии, характерных для эволюции понятия об этой науке. До Лежандра295 геометрия - это учение о пространственных величинах (Ламберт). Для Лежандра это "la mesure de l'etendue" - просто измерение пространства.
Для Тибо - это наука о построениях, и в этом духе - и для Ульриха и др. немецких методистов.
Для Бретшнейдера геометрия превращается в учение о геометрических формах.