§ 3. Кант и Тибо.

Кантовская гносеология резко отделяет интуицию от рассудка, Пространство не концепция, а априорная форма интуиции. Геометрия изучает не пространство, ибо сущность его не может быть выражена в понятиях.

Именно под влиянием каитовских идей геометрия превращается, как это имеет место у Тибо276 , в науку о построениях в пространстве (Wissenscliaft der Konstruclion і 111 Raum).

Постулаты и аксиомы сливаются у рационалистов и эмпириков, у кантианцев же они опять резко разделяются.

Первые дают чисто интуитивный материал. Это первый акт конструирующей фантазии, это простейшие построения, неприводимые к другим, которые преледе всего следует изучить. Это то, что дает нам всецело интуиция.

Аксиомы лее, по Тибо, это "условия, которыми связывается незнание при установке их представления". Это то, что приносит интуиции рассудок.

Именно под влиянием Канта в геометрии выступают генетические определения. Тибо часто говорит о движении, образующем геометрические объективы. Но это движение иное, чем то, которое определяется постулатами позднейших математиков 50-70 г. г. Это основной акт конструирующей фантазии. Что такое прямая? Это простейшее построение - говорит Тибо.

Для разъяснения, в чем состоит это простейшее построение, следует описать этот акт, который производит прямую.

Это - прогрессивное движение, иначе говоря, движение одного направления, так что у Тибо появляется раньше направление, а потом уже прямая.

Между двумя точками может быть проведена только одна прямая. Но Тибо кажется, что из этого рода положений не может еще выйти науки. Если прямая становится затем предметом научного исследования, то именно потому, что в ней находится единственно количественное - ее длина, позволяющая призвать число, а нам - и рассудок с его категориями.

То, что говорит Тибо о прямой, характерно для понимания и дальнейшего развития его идей. Что молено построить параллельную, перпендикуляр, треугольник, четырехугольник, две пересекающиеся, круги и т.д., об этом говорит интуиция. Но иа вопрос, когда возможны эти построения, в логических или в духе Лежандра числовых терминах, должен ответить рассудок. Геометрия - наука о построениях - является у Тибо последовательным изучением способностей конструирующей фантазии в порядке их усложнения. Прямая дается простейшим из основных актов. Акт, производящий угол, улсе слолсный, составленный из таких двух основных "прогрессирующих" актов, сперва определяемых одним, затем другим направлением.

Уже при рассмотрении углов возникает понятие об эквивалентности актов.

Эквивалентными являются такие акты, которые производят те о/ее результаты. Угол производится как упомянутым выше сложным актом, так и простым актом вращения прямой около некоторой точки.

Другое основное понятие - это понятие независимости и зависимости актов:

Из данной точки М я могу провести прямую, и прямую, независимо, от этого могу провести и из другой точки N; и количественному признак первой (длине) могу дать какое угодно значение, не зависящее от количественного признака второй.

Из данной точки М могу описать окружность какого угодно радиуса R|; и из другой точки М„ независимо от этого, могу описать другую

окружность тоже какого угодно радиуса R^,

Наряду с независимыми актами над различными объектами существуют и независимые акты, произведенные над одним и тем же объектом.

Много заставила говорить о себе теория параллельности Тибо278.

Тибо отмечает, по его мнению, очевидную независимость следующих актов: поступательного передвижения прямой, того, что соответствует "перенесению" - translation позднейших авторов, и вращения.

Угол производится вращением, которое только и дает изменение направления; перенесение же оставляет направление неизменным.

Вращение должно совершиться на один и тот же угол, повернем ли мы сперва прямую, а затем перенесем до совмещения с другой, или обратно: сперва перенесем, а затем повернем.

Если мы имеем два угла с паралельними (т.е. одного направления) сторонами (1[51\), (12, Г,), то для приведения I, в 12 нам необходимо совершить вращение на угол а 1, в 1' а затем перенос в 1'2или сначала перенос 1, в 12и затем вращение І2 в 1'2 на угол а', вследствие чего а = а'.

Таким образом устанавливается равенство углов с параллельными и одинаково направленными сторонами, в частности, соответствующих углов п])и пересечении двух параллельных третьей прямой.

Если в треугольнике ABC с двумя данными сторонами а, Ь, будем изменять угол С вращением этих сторон около С, то будет вместе с тем производиться акт изменения противолежащей стороны с.

Этот последний будет уже зависящим от первого актом.

Основная научная проблема геометрии сводится к исследованию функциональной зависимости переменных величин.

Всегда ли при возрастании X возрастает или убывает У, или существуют переходы от возрастания к убыванию и/или обратно (максимумы или минимумы)?

Какова область изменения?

У Тибо нет обычных доказательств наложением теорем о конгруэнции треугольников. Его изложение существенно отличается от евклидов- ского, т.к. в основе, гак очевидные факты интуиции, выдвигаются положения ие о равенстве фигур, а о характере изменения простейших функций276. В треугольнике с данными сторонами Ь, с Тибо подвергает изменению сторону а и отмечает как очевидный факт постоянное возрастание угла А с возрастанием а и убывание А с убыванием а, а также изменение в обратном направлении угла В. Отсюда (не наложением) выводится, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если А = а, В = (3 и (і > а, то и треугольник, в котором А = [і, В = а, будет равнобедренным, вследствие чего получаем, что сторона а с изменением А будет изменяться от одного значения к другому, ему равному, т.е. не будет изменяться вовсе, что противно указанной выше аксиоме вращения280.