Интегрирование подстановкой

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .

Теорема. Если 1. Функция и ее производная непрерывны при

2. множеством значений функции при является отрезок [a;b]

3. , то =.

Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница =. Т.к. , то является первообразной для функции , . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

=.

Формула замены переменной в определенном интеграле.

1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2. часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)

3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.