<<
>>

Интегрирование элементарных дробей.

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральные числа (m ? 2, n ? 2) и b2 – 4ac id="Рисунок 2518" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/1413.gif">

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

Пример.

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n–1 раз, то получится табличный интеграл .

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример:

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Интегрирование элементарных дробей.:

  1. О СМЫСЛЕ ЧИСЕЛ
  2. §41. Основные методы интегрирования
  3. § 62. Разложение функций в степенной ряд, Применение стеленных рядон
  4. § 1. УРАВНЕНИЕ РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ
  5. Теоретические предпосылки
  6. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  7. Содержание дисциплины
  8. ПЕРЕЧЕЬ ТЕМ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
  9. Интегрирование элементарных дробей.
  10. Интегрирование рациональных дробей.