§ 17. Предел числовой последовательности

¦Г 11 Х2і Яз, '¦ ¦¦ Хп ...

Такая переменная величина называется числовой последовательностью или Просто последовательностью и обозначается символом {хп} .

Если все члены последовательности хп неограниченно возрастают по абсолютной величине с ростом п. то последовательность называ-

7 ] Предел числовдії последавательности J65

ется бесконечно большой. Такой будет, например, последовательность (Zft) = Її = — 4, ~ э,... Для бесконечно больших

последовательностей применяется следующая запись:

Jini?n — оо.

ті —

Если все члены бесконечно большой последовательности положительны (по краішей мере, начиная с. некоторою номера), то говорят, что последовательность имеет пределом «плюс бесконечность» н записывается так:

Ііш я,, s® +оо.

Ті—

Если же, начиная с некоторого номера, все члены бесконечно большой последовательности отрицательны, то говорят, что такая последовательность имеет пределом «минус бесконечность» и пишут

lim хп = —оо,

л—

Пример 1. Последовательность — {(—(ii = э?э — = \/2 t -- — бесконечно большая, так как \хп\ — = V™

неограниченно растёт с номером п. Поэтому 1їпчагТІ = оо. Но про эту

II—too

последовательность нельзя с Eta за ть, что она имеет пределом +<м или —оо, так как знаки её чередуются

Пример 2. Рассмотрим следующую последовательность: {in) — = {п* -5л + 2}., = —2, Х2 — -4, гз — -4, х* = -2, хв -2, а?о — — Ни т, д. Здесь хп неограниченно возрастает с ростом п Hj начинал с п = 5Г все члены этой последовательности положительны.

п—і ос

Пример 3, Для последовательности {я*} { — v^ } легко видеть, что 1ІІЇІЯп — lim (— — —оо,

її—+DC

Замечание\ Часто вместо обозначений limx* — od, Ііт:х;п — +оот

П—их rt—'во

шпхп = — оо используют соответственно обозначения аїц —» 00} ±00-

Т7,—»00

Число а называют пределом последовательности {їп}, если для любого (сколь угодно малого) числа ? > 0 найдётся такой номер N, начиная с которого все члены последовательности -О»

отличаются от а меньше, чем на е, т, е, — < е при к iV", N + + ЛГ + 2? —

Неравенство — а| < как известно, равносильно неравенствам а — є < Xk < а + є, которые означают, что хпопадает внутрь интервала (а-?,йН-?). Поэтому с геометрической точки зрения, определение выглядит так.

Число а называется пределом последовательности если дли

любого интервала —а + ?[ с центром а точке а можно указать такое N, начиная с которого все точки попадают

в этот интервал (см. рис. 50).

Введение в математический анализ

&N+1 —>-¦

XpJ-2 X Я 4 { » » - -

а + ?

а

Риге, 50

Тот факт, что число а является пределом последовательности (или, как иногда говорят, последовательность {я71} сходится к числу а), символически записывается так;

и;] и хт

а.

lim ; 11—

16

Л

17- ¦

п

rt + 1

Пример 4, Рассмотрим последовательность ¦-,

2' 51 Ю '

(л-й член этой последовательности может быть записан в бНАО

Видим, что с ростом п члены этой последовательности приближаются к единице. Это число и является пределом данной последовательности,

т. е. lim ——— — 1.

« — ьй ї{- -j-1

В самом деле, рассмотрим модуль разности

п

-1

п + 1

п + 1

- 1| =

Знаменатель этой дроби растёт с ростом п, а сама дробь уменьшается. Поэтому, какое бы число s > 0 мы не взяли, всегда можно подобрать

1

такой номер Лг, начиная с которого дробь 21 ^ т т.е. выражение

п

\хп — а\г окажется при всех п меньше взятого нами числа є.

Замечание.

пределом ни 1, ни — 1, ни какое-либо другое число (это довольно легко доказать, используя определение предела, а также из геометрических соображений). Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Можно, кроме того, показать, что никакая последовательность не может иметь двух различных пределов.

Последовательность {хТ[} называется бесконечно малой, если lim хп — 0. Например, используя определение предела, нетрудно

¦ 1 1 доказать, Um - — О, т.е. последовательность {ачЛ - — бесконечно

n-fjc її п

малая

Замечание. При решении звдач полезны следующие два свойства бесконечно малых последовательностей.

I. Если последовательность {пг„} бесконечно малая, причём ф

Ф ft, начиная с некоторого а, то последовательность / —1 бесконечно

, v J

большая {т е если mi^ <ип ^ U и Q„ / 0, начиная с некоторого nt то ІІІ11 --- х).

J 67

Например, lim = °°t поскольку {(0,3)*} — бесконечно малая

її—^LIjiiJ

последовательность, так как можно доказать, что при < 1 величина нqTl стремится к нулю с ростом іг.

2. Если lim = а, где а фО, a lim aTl — 0 (предполагается, что

¦л— со

ті—*оо.

ап Ф 0, начиная с некоторого n)t то Шп — = 00,

п

¦ -2 • ' Я

Например, lim -V-fl¦ = оо, так как lim я = 1 (см. пример 4),

11—оо (Jul) П—tOO ft -(- J

в Inn (0,3)"

n—+«J

Последовательность {.rn} называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что \хп\ < М для любого члена последовательности,

Можно доказать, что если последовательность — ограничен

ная, а последовательность {о^} бесконечно малая, то последовательность [хл&п} тоже бесконечно малая.

Практическое ьычисление пределов последовательности основывается на следующих теоремах, которые мы приведём без доказательства.

Если все члены последовательности равны одному и тому же числу С, то и предел этой последовательности равен С.

Если {ЛГЦ} И {уп} — две последовательности, у которых суще-ствуют конечные пределы lim хн и lim то;

пчор Т1—-ЮО

а) lim ±уп) = lim хп ± lim уп\

Л.—КХ) п—-оо та—іоО

б) lim С - x,t = С < lim С — постоянная;

п—> г» п^+оо

a) lim (хп ¦ уп) = ( lim ¦ ( lim уп);

п-чоз п—юс п—*оо

lim хп

г) lim —- = —, если lim Уп ф Q,

moo J/rt Jim ул П"і»

П-Н"»

Пример 5, Проверить вычислеиия пределов:

xo:

lim *——5

-і

«-і

8

)-

Г і.—юо

-i\Un(l -1 + , (-1 r+1\ _ і l_ = l

1

2'

n~*oо

~ 8 \ 8 8'1-1 J S1 + (1/S) 9"

2п - п + 7

5) Urn

= itai^±1- lim

п TI^OO п

П— (Л J +3 4- 5 + ...

= lim

н—»ло

(І) ІІШ ( 1+ їЛї + + ... + —І--т ) = ' ft— ЯС У 1'2 2 ¦ 3 n(n + I) J

-= Ііш fl + l гт) 2-

п—^оо \ П + І /

7) Ііш

Н—+DG

(н-Ь'1) +(я.Н-2) + ... -і- 2п Зи* - Ьп - 1

¦ litn

n—too

7і + ti + l., +тг + І + 24-3 + ...ЇЇ

Згі — Sft ~ 1

3/2 З

1 2'

= ІІШ

ft-+w Зге — 5п — 1

"П ¦— 1

6й - 1

8) Зіш

— Ііш

1 + 6+ fi~ + ... Ч- 6

6*) (і+6") 6-1

1 - W

1 1

—- ИШ -тг

1 + 6

&= . о

5

= 0.

9) lim {і3 + 23 -г- З3 + ... + п3) = lb + =

Н-*3Q ТІ ^ > QO Д 4 '

1 у П 1

— - lim —т = г, 4 П-+00 п 4

jun JL (1 + З3 + 53 + ,.. + (2ft- І)3) =

= bin \ - п2 (2п2 — 1) = 2.

п—too л, 4 1

Ііш (/2 V2) = Ііщ Щи 21-* = 2,

V ) ті^по її— ™

так как

2

іЗ

2 4 2" 1-—.

2-1

,2, Urn ¦+* + <*+--И»-І)' = 1 » 4

При нахождении пределе и учтено, что

1 + 2 + 3-К..+П = in(n + l);

1 + 3 + 5 + ...-Н2п- 1)

lft4-2a + 3a+,., »п(гН- 1)(2п4 1);

+ + +Т13 = ^п8(п + 1}2;

6. Iа + З3 4- 5я 4- ... + (2п - 1>3 = п2 (2п2 - 1) , г также формула Стирлинга: при больших п и! ю y/2wn.

так кяк

® + + J + = — (1 + 24-34--.. + = -

= lim - а^ + аґ'ч-... + 2*е{1 + 24-,.. + п - 1) +

n^ao п І п

+ 4 (1+ + * + =

ТІ

1

= 1ІШ - ' x2(n- 1) 4-п(п-1) + 4 ? (п- 1)(271 - 1)1 =

п—оо n I v у П 4 П 6 '

ч2 а а<2

= ® + .