7.1. Числовые ряды

Пусть где - бесконечная последовательность чисел.

Выражение

(1)

называется числовым рядом, числа - членами ряда, - общим членом ряда.

Сумма n первых членов ряда называется частичной суммой этого ряда.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел: Значение S называется суммой ряда.

Если ряд не сходиться, то он называется расходящимся.

Часто интерес представляет не сама сумма того или иного ряда, а лишь факт сходимости или расходимости этого ряда. Установление того факта нередко основывается на сравнении исследуемых рядов с рядами, о сходимости или расходимости которых заранее известно.

В качестве рядов сравнения часто выбирают:

а) бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

которая сходится и имеет сумму

б) гармонический ряд , являющимся расходящимся;

в) обобщенно-гармоничный ряд

при p>1	- сходится
при p1	- расходится

ü Основные свойства рядов

Пусть дан ряд (1). Ряд

(2)

называется остатком ряда (1).

Если сходится ряд (1), то сходится и n-й остаток этого ряда (2) и наоборот.

Если сходится ряд (1), то сходится и ряд

,

причем сумма последнего ряда равна aS.

Если сходятся ряды

, ,

имеющие соответственно суммы S и t, то сходится и ряд

,

причем сумма последнего ряда равна S + t.