1.6. Числовая прямая и числовые промежутки

Построим прямую. Отметим на ней начало отсчета – точку O, выберем на ней единицу длины и зададим направление (рис.1.1). Из двух возможных направлений на прямой одно называется положительным (обозначается стрелкой), а другое − отрицательным.

Для наглядности действительные числа изображают точками числовой прямой.

Например, чтобы найти на числовой прямой точку В, соответствующую числу 3, надо в положительном направлении последовательно отложить от точки О три единичных отрезка (рис.1.2). Чтобы найти точку С, соот­ветствующую числу - 4, надо от точки О отложить четыре единичных отрезка, но в направлении, противоположном. Чтобы отметить точку D, соответствующую числу , надо от точки О отложить в положительном направлении два и еще три пятых единичного отрезка.

Рис.1.1 Рис. 1.2

Если точка М соответствует числу х, то говорят, что точка М имеет координату х, и записывают М(х). Например, на рис.1.2 : О(0), A(1), B(3), С(- 4), D (). Координата точки определяет ее положение на числовой прямой.

Если точка М имеет координату х, то модуль числа х равен длине отрезка ОМ.

Например, точка С имеет координату -4 и длина отрезка ОС равна 4.

Противоположные числа а и -а изображаются на числовой прямой точками, расположенными симметрично относительно начала отсчета, так как | а | = | -а |. На рис.2. 2 числа -5 и 5 изображены точками E(-5) и F (5), равноудаленными от точки О.

Пусть M1(x1) и М2(х2) – точки, расположенные на числовой прямой. Справедлива следующая формула для вычисления расстояния между двумя точками на числовой прямой: М1М2 = | x2-x1 | , (1.6.1)

где М1М2 – длина отрезка М1М2.

Например, если А(1) и В(3), то по формуле (1.6.1): АВ = | 3 - 1 | = 2.

Из рис. 1.2 видно, что в этом случае: АВ = ОВ-ОА = 3-1 =2.

Например, если С(-4) и D ( 2 3/5), то по формуле (1.6.1):

Из рис. 1.2 видно, что в этом случае CD=OC+OD=

Числовые промежутки. Определения

Пусть а и b – действительные числа и а < b.

1. Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенст­вам а ≤ х ≤b, называется числовым отрезком (или просто отрезком) и обозначается [а; b].

2. Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенст­вам а а; (- ∞; + ∞) − множество всех действительных чисел. На числовой прямой бесконечные промежутки изображаются лучами.

Например, [2; + ∞) – это множество всех чисел х, удовлетворяющих условию х ≥ 2; (- ∞; -1) − это множество всех чисел х, удовлетворяю­щих условию х < - 1. (рис.1. 4).