Функциональные последовательности и ряды

Пусть в области D задана последовательность голоморфных функций:

.

Определение: последовательность сходится равномерно, если для и некоторого произвольного числа , такое, что

Функция называется пределом последовательности:

Теорема^[3]

Если функции, из которых составлена равномерно сходящаяся последовательность, непрерывные, то и предел этих функций также является непрерывной функцией.

Теорема

Пусть дана равномерно сходящаяся последовательность функций , (), тогда:

или иначе

Доказательство:

В силу того, что последовательность сходится равномерно, можно выбрать малое такое, что при n>N будет выполняться условие: .

Определение:

- функциональный ряд.

Если , такое что , где - частичная сумма, то такой функциональный ряд сходится равномерно.

Рассмотрим понятие мажорирующего ряда:

пусть - сходящийся числовой ряд . Тогда, если такое, что: , то - мажорирующий ряд, а - мажорируемый ряд.

Теорема

Всякий мажорируемый ряд равномерно сходится.

Доказательство:

откуда следует, что .

Теорема

Равномерно сходящийся функциональный ряд можно почленно интегрировать.

Доказательство:

Тогда

Таким образом, доказано, что