<<
>>

Функциональные последовательности и ряды

Пусть в области D задана последовательность голоморфных функций:

.

Определение: последовательность сходится равномерно, если для и некоторого произвольного числа , такое, что

Функция называется пределом последовательности:

Теорема[3]

Если функции, из которых составлена равномерно сходящаяся последовательность, непрерывные, то и предел этих функций также является непрерывной функцией.

Теорема

Пусть дана равномерно сходящаяся последовательность функций , (), тогда:

или иначе

Доказательство:

В силу того, что последовательность сходится равномерно, можно выбрать малое такое, что при n>N будет выполняться условие: .

То есть, с ростом n подынтегральное выражение .

Определение:

- функциональный ряд.

Если , такое что , где - частичная сумма, то такой функциональный ряд сходится равномерно.

Рассмотрим понятие мажорирующего ряда:

пусть - сходящийся числовой ряд . Тогда, если такое, что: , то - мажорирующий ряд, а - мажорируемый ряд.

Теорема

Всякий мажорируемый ряд равномерно сходится.

Доказательство:

откуда следует, что .

Теорема

Равномерно сходящийся функциональный ряд можно почленно интегрировать.

Доказательство:

Тогда

Таким образом, доказано, что

<< | >>
Источник: И.М. Лавит. Теория функций комплексного переменного. 2001

Еще по теме Функциональные последовательности и ряды:

  1. 4.2. Декомпозиционные генераторы последовательностей GMW
  2. 4.4. Генератор последовательностей GMW на основе сдвигов т-последовательностей.
  3. § 5. Разряды модальных слов и частиц, выделяемые по их современному значению и употреблению
  4.   § 4. Функционально-смысловые типы речи Описание
  5.   § 5. Функциональные стили речи Общая характеристика стилей
  6. § 5. Разряды модальных слов и частиц, выделяемые по их современному значению и употреблению
  7. ГЛАВА IV. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ
  8. § 5. Разряды модальных слов и частиц, выделяемые по их современному значению и употреблению
  9. Проверочный тест № 1.«Функциональные стили современного русского языка»
  10. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-СТОИМОСТНОГО АНАЛИЗА
  11. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ АДАПТИВНОГО МЕТОДА ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ИЗДЕЛИЙ
  12. § 5. Функциональные стили речи