<<
>>

Функциональные ряды.

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Определение.

Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке х0.

Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что общегармонический ряд при a=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [–1,1] выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (–µ, –1) È (1, µ) расходится.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Функциональные ряды.:

  1. 2.3. Влияние функциональных свойств СОЖ на процесс резания
  2. Функциональные нарушения голоса
  3. §61. Функциональные ряды
  4. 1.3. Функциональная стилистика
  5. ГЛАВА IV. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ
  6. § 92. Фонемные и морфофонемные ряды
  7. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-СТОИМОСТНОГО АНАЛИЗА
  8. МЕТОДОЛОГИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ IDEF0
  9. Функциональные ряды.
  10. 5.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
  11. 2.5. Представление регулярных функций рядами
  12. 7.2. Функциональные ряды
  13. § 13. Ряд как синтаксическая конструкция
  14. Теория системной динамической локализации высших психических функция (ВПФ). Понятие функциональной системы, нейропсихологического синдрома, симптома, фактора.
  15. Функциональные последовательности и ряды
  16. 6. Равномерносходящиеся функциональные ряды
  17. Функциональные ряды.