<<
>>

Функциональные последовательности.

Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов.

Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

Определение. Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(e, x), такой, что неравенство

выполняется при n>N.

При выбранном значении e>0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.

Определение. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 существует номер N = N(e), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

Построим графики этой последовательности:

sinx

class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/2819.gif">

Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Функциональные последовательности.:

  1. 4.2. Декомпозиционные генераторы последовательностей GMW
  2. 4.4. Генератор последовательностей GMW на основе сдвигов т-последовательностей.
  3. 5.4. m-подобные последовательности над GF(2m) и их применение в широкополосных системах связи
  4. 8.5. Проектирование функциональной модели.Матрица разделения административных задач управления (РАЗУ)
  5.   § 4. Функционально-смысловые типы речи Описание
  6.   § 5. Функциональные стили речи Общая характеристика стилей
  7. ГЛАВА IV. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ
  8. ПРИЧИНЫ ИЗМЕНЕНИЯ НОРМ В УПРАВЛЕНИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СИНТАКСИЧЕСКИХ ВАРИАНТОВ
  9. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-СТОИМОСТНОГО АНАЛИЗА
  10. Функциональные последовательности.
  11. Функциональные ряды.
  12. Официально-деловой дискурс как функциональное единство способов и единиц концептуализации
  13. Функциональное лечение амблиопии и косоглазия
  14. Функциональные последовательности и ряды
  15. 1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
  16. ПОНЯТИЕ ПРАВОПРИМЕНИТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА В ШИРОКОМ И УЗКОМ СМЫСЛЕ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ПРОЦЕДУРНЫЕ СТАДИИ ПРАВОПРИМЕНИТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
  17. Тема №5. Функциональные стили современного русского литературного языка
  18. Глава 13 АРГУМЕНТАЦИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РАЗНОВИДНОСТЯХ ЯЗЫКА
  19. СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СТИЛЕЙ РУССКОГО ЛИТЕРАТУРНОГО ЯЗЫКА
  20. ФУНКЦИОНАЛЬНО-СТИЛИСТИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ РУССКОГО ЛИТЕРАТУРНОГО ЯЗЫКА