7.3. Степенные ряды.
Функциональный ряд вида
(10)
где 
- действительные числа, называется степенным относительно переменной x рядом.
Для любого степенного ряда существует такое неотрицательное число R, что этот ряд сходится абсолютно при 
, расходится при 
. Поведение ряда при 
подлежит дальнейшему анализу.
Число R называется радиусом сходимости данного степенного ряда.
Область значений переменной x: -Rинтегральный признак Коши: 
; 
;
= - ( 0 – 1 ) = 1.
Интеграл сходиться, поэтому сходиться и исходный ряд.
Пример8 Исследовать на сходимость ряд 
Решение:
Признак Коши для этого ряда дает:
.
Так как C < 1, ряд сходиться.
Пример9 Исследовать сходимость ряда
Решение:
Имеем знакопеременный ряд. Составим ряд из абсолютных величин.
Этот ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.
Пример10 Исследовать на сходимость ряд 
Решение:
Этот ряд знакочередующийся. Так как
… ,
то
… .
Первое условие признак Лейбница выполняется.
Далее, 
т.е. выполняется и второе условие. Значит, данный ряд сходится.
Пример11 Исследовать на сходимость ряд 
Решение:
Этот ряд знакочередующийся.
Первое условие Лейбница не выполняется: 1,1 > 1,02 > 1,003 > …
Проверим выполнение второго условия:
Так как 
ряд расходится.
Пример12 Исследовать на сходимость ряд 
Решение:
Ряд сходится при x > 1, и расходиться при x ≤ 1. Следовательно, область сходимости этого ряда описывается неравенством x > 1.
Пример13 Исследовать на сходимость ряд 
Решение:
Члены функционального ряда при любом x меньше
соответствующих членов ряда “обратных квадратов“:
.
Так как последующий ряд сходится, будет сходиться и исходный ряд при любом x; его
областью сходимости является множество всех действительных чисел.
Пример14 Исследовать на сходимость ряд рассмотрим ряд 
Решение:
Поскольку sin x ≤ 1, члены этого ряда не меньше соответствующих членов гармоничного ряда, начиная с третьего:
Следовательно, исходный ряд не сходится ни при каком значении x.
Область сходимости – O.
Пример15 Исследовать на сходимость ряд 
Решение:
Применим признак Даламбера:
Так как предел < 1 и не зависит от x, то ряд сходится при всех значениях x.
Приме16 Исследовать на сходимость ряд 
Решение:
Здесь 
Стало быть, ряд расходится при всех значениях x, кроме x = 0.
Пример17 Исследовать на сходимость ряд 
Решение:
Применим признак Даламбера
.
Ряд сходится, если 
, т.е. если 
. Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. При 
получим знакочередующийся ряд 
Применим признак Лейбница:
1) 
2) 
Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.
При имеем 
Этот ряд расходится, так как членами его являются члены гармонического ряда, умноженные на -1. таким образом, исходный степенной ряд сходится 
.