<<
>>

7.3. Степенные ряды.

Функциональный ряд вида

(10)

где - действительные числа, называется степенным относительно переменной x рядом.

Для любого степенного ряда существует такое неотрицательное число R, что этот ряд сходится абсолютно при , расходится при . Поведение ряда при подлежит дальнейшему анализу.

Число R называется радиусом сходимости данного степенного ряда.

Область значений переменной x: -Rинтегральный признак Коши: ; ;

= - ( 0 – 1 ) = 1.

Интеграл сходиться, поэтому сходиться и исходный ряд.

Пример8 Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Признак Коши для этого ряда дает:

.

Так как C < 1, ряд сходиться.

Пример9 Исследовать сходимость ряда

Решение:

Имеем знакопеременный ряд. Составим ряд из абсолютных величин.

Этот ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.

Пример10 Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Этот ряд знакочередующийся. Так как

… ,

то

… .

Первое условие признак Лейбница выполняется.

Далее,

т.е. выполняется и второе условие. Значит, данный ряд сходится.

Пример11 Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Этот ряд знакочередующийся.

Первое условие Лейбница не выполняется: 1,1 > 1,02 > 1,003 > …

Проверим выполнение второго условия:

Так как ряд расходится.

Пример12 Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Ряд сходится при x > 1, и расходиться при x ≤ 1. Следовательно, область сходимости этого ряда описывается неравенством x > 1.

Пример13 Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Члены функционального ряда при любом x меньше

соответствующих членов ряда “обратных квадратов“:.

Так как последующий ряд сходится, будет сходиться и исходный ряд при любом x; его

областью сходимости является множество всех действительных чисел.

Пример14 Исследовать на сходимость ряд рассмотрим ряд

Решение:

Поскольку sin x ≤ 1, члены этого ряда не меньше соответствующих членов гармоничного ряда, начиная с третьего:

Следовательно, исходный ряд не сходится ни при каком значении x.

Область сходимости – O.

Пример15 Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Применим признак Даламбера:

Так как предел < 1 и не зависит от x, то ряд сходится при всех значениях x.

Приме16 Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Здесь

Стало быть, ряд расходится при всех значениях x, кроме x = 0.

Пример17 Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Применим признак Даламбера

.

Ряд сходится, если , т.е. если . Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. При получим знакочередующийся ряд Применим признак Лейбница:

1)

2)

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

При имеем

Этот ряд расходится, так как членами его являются члены гармонического ряда, умноженные на -1. таким образом, исходный степенной ряд сходится .

<< | >>
Источник: Лабгаева Эмма Владимировна. Методические указания для студентов по проведению практических занятий по дисциплине «Математика». 2007

Еще по теме 7.3. Степенные ряды.:

  1. §61. Функциональные ряды
  2. § 62. Разложение функций в степенной ряд, Применение стеленных рядон
  3. Свойства равномерно сходящихся рядов.
  4. Степенные ряды.
  5. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
  6. 5.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
  7. 6. Свойства степенных рядов.
  8. 10. Применение степенных рядов.
  9. 7.3. Степенные ряды.
  10. Степеневі ряди. Радіус збіжності. Інтервал збіжності
  11. Степенной ряд
  12. Степенные ряды
  13. 7. Степенные ряды. Теорема Адамара
  14. 8. Дифференцирование степенных рядов
  15. Степенные ряды.
  16. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
  17. Свойства степенных рядов.
  18. Разложение функций в степенные ряды.
  19. Разложение элементарных функций в степенные ряды.