Знакопеременные ряды.

Теорема. Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то исходный ряд сходится.

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательный ряд для него справедливо неравенство для всех значений .

Ряд сходится из условия теоремы. Вспомогательный ряд сходится на основании признака сравнения.

Исходный ряд можно представить как разность двух сходящихся рядов . И, следовательно, сходится.

Замечание. Обратное утверждение неверно.

Определение. Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится.

Заметим, что доказанный признак сходимости является достаточным, но не необходим: существуют знакопеременные ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Определение. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд из абсолютных величин его членов расходится.