Знакочередующиеся ряды

Определение. Ряд вида

называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов ряда:

1) монотонно убывают и 2) , то ряд сходится, и его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда, то есть .

Доказательство.

Рассмотрим последовательность частичных сумм четного количества членов знакочередующегося ряда

Каждая из разностей, стоящих в скобках, положительна по условию теоремы, значит, и последовательность является возрастающей.

Если записать эту сумму в виде , то каждая из разностей в скобках положительна и то есть последовательность ограничена сверху.

Итак, последовательность является возрастающей и ограничена сверху, следовательно, имеет предел , причем .

Аналогично можно показать сходимость последовательности частичных сумм нечетного количества членов знакочередующегося ряда, следовательно, ряд сходится.

Пример. Знакочередующийся ряд сходится условно по признаку Лейбница, так как и , но соответствующий ряд из абсолютных величин членов данного ряда является гармоническим и расходится.

Ряд сходится абсолютно, так как этот знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, и ряд сходится тоже.

Замечание. Признак Лейбница используется для приближенного вычисления суммы знакочередующегося ряда с определенной точностью. Сумма отброшенных членов знакочередующегося ряда Лейбница не превосходит первого из них.

Пример. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы сумму ряда найти с точностью 0,001?

Представим сумму ряда в виде:, где по признаку Лейбница.

По условию задачи , откуда нужно взять членов ряда.