Ряды

1.Рассм числовую последоват-ть (1). Если эта последоват-ть имеет конечную сумму, то сумму членов этой последовательности называют рядом.

Опред: Последоват-ть (1), рассматривая с т.з. ия суммы её членов называется рядом: (2)

Обозначим n-частичная сумма ряда (3).

Последоват-ть назыв-я последоват-тью частичных сумм ряда (2).

Суммой ряда (2) называется предел n-частичной суммы, т.е.

Если сумма ряда и конечна, то ряд назыв сходящимся. В противном случае – расходящимся.Если S-сумма ряда (2), то

Простейшие свойства рядов:

1. Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то

Будем обознач-ть ряд:(А), сумму ряда А, аn-общий член ряда.

Док-во: Если (А) сходится, то частичная сумма , ,

2.Ряд,полученный произведением (А) на число «с», т.е. сходится или расходится также как и сам ряд А, причем в случае сходимости: S=ca.

Суммой рядов (А) и (В) называется ряд (С) с общим членом.

3.Если (А) и (В) – сходящиея ряды, то ряд (С) тоже сходится, причем С=А+В.

4.Остатком ряда после kтого члена или kтым остатком называют ряд. Сумму остатка будем обозначать rk. При kϵN сходимость (А) сходимости его k-остатка при этом .

Следствие: Вычеркивание из ряда конечного колич-ва слагаемых// вписывание в него конечного колич-ва слагаемых, не влияет на сходимость ряда. При этих операциях достаточно далекие остатки полученного ряда будут является остатками прежнего ряда. А сходимость остатка сходимости ряда.

5.Если (А) сходится, то rk.