Основные понятия

Пусть ‑ последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность , построенную следующим образом:

;

;

;

;

Последовательность удобно записывать в виде .

Пример 1. Ряд имеет -й член .

Поэтому

т.е. .

Рассмотрим ряд

(1)

Сумму называют -й частной суммой ряда (1).

Пример 2. Рассмотрим ряд . Для него , что представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии.

Если , то и .

Если , то и .

Если , то и .

Если , то

и не существует.

Таким образом, ряд при сходится и расходится при . Этот ряд называется геометрическим.

Пусть ряд (1) сходится и ‑ его сумма.

,

(2)

то при получаем .

Откуда следует необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то

.

(3)

Если условие (3) не выполнено. То ряд расходится.

Пример 3. Ряд расходится, т.к. и .

Условие (3) не является достаточным для сходимости рядя. Даже если оно выполнено, ряд может расходится. Покажем это на примере гармонического ряда . Для этого ряда при , т.е. условие (3) выполнено. В то же время,

,

.

Поэтому .

Предположим, что гармонический ряд сходится и ‑ его сумма, т.е. при . Поскольку , то при получаем ‑ противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.

Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд , называемый остатком ряда (1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка. 6.2