<<
>>

Основные понятия

Пусть ‑ последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность , построенную следующим образом:

;

;

;

;

Последовательность удобно записывать в виде .

Такую последовательность называют числовым рядом. Числа называют членами или элементами ряда. Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданного можно вычислить -й член ряда.

Пример 1. Ряд имеет -й член .

Поэтому

т.е. .

Рассмотрим ряд

(1)

Сумму называют -й частной суммой ряда (1).

Если последовательность частных сумм ряда (1) сходится, то ряд (1) называют сходящимся, а число называют суммой ряда. Если же последовательность не имеет конечного предела, то ряд (1) называют расходящимся.

Пример 2. Рассмотрим ряд . Для него , что представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии.

Если , то и .

Если , то и .

Если , то и .

Если , то

и не существует.

Таким образом, ряд при сходится и расходится при . Этот ряд называется геометрическим.

Пусть ряд (1) сходится и ‑ его сумма.

Поскольку
, (2)

то при получаем .

Откуда следует необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то

. (3)

Если условие (3) не выполнено. То ряд расходится.

Пример 3. Ряд расходится, т.к. и .

Условие (3) не является достаточным для сходимости рядя. Даже если оно выполнено, ряд может расходится. Покажем это на примере гармонического ряда . Для этого ряда при , т.е. условие (3) выполнено. В то же время,

,

.

Поэтому .

Предположим, что гармонический ряд сходится и ‑ его сумма, т.е. при . Поскольку , то при получаем ‑ противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.

Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд , называемый остатком ряда (1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка. 6.2

<< | >>
Источник: Гринберг А.С., Кастрица О.А., Скуратович Е.А.. Высшая математика. Курс лекций. Часть II: Курс лекций. ‑ Мн.:Академия управления при Президенте Республики Беларусь,2003. – 213 с.. 2003

Еще по теме Основные понятия:

  1. Лекция № 1. Тема: Содержание и основные понятия дисциплины «Прокурорский надзор».
  2. Тема 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ПРЕДМЕТ И СИСТЕМА КУРСА
  3. § 1. Основные понятия страхования
  4. § 1. Основные понятия страхования
  5. Тема 1. Основные понятия менеджмента
  6. Глава 1 Основные понятия ИНС.
  7. Глава IОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТРАХОВАНИЯ
  8. Глава 1.2. Основные понятия психологии социальной работы.
  9. Глава IОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ПРЕДМЕТ И СИСТЕМА ДИСЦИПЛИНЫ "ПРАВООХРАНИТЕЛЬНЫЕ ОРГАНЫ
  10. ПРЕДМЕТ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СЛОВООБРАЗОВАНИЯ
  11. Предмет и основные понятия экологического права. Источники экологического права
  12. ВОПРОСЫ, ПРОБЛЕМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПОЛИТИЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ
  13. Тема 1. Основные понятия о ГНВП и фонтанах.