Основные понятия
Пусть 
‑ последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность 
, построенную следующим образом:
;
;
;
;
Последовательность удобно записывать в виде 
.
называют членами или элементами ряда. Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданного 
можно вычислить -й член ряда. Пример 1. Ряд 
имеет -й член 
.
Поэтому 
т.е. 
.
Рассмотрим ряд
| (1) |
Сумму 
называют -й частной суммой ряда (1).
частных сумм ряда (1) сходится, то ряд (1) называют сходящимся, а число 
называют суммой ряда. Если же последовательность не имеет конечного предела, то ряд (1) называют расходящимся. Пример 2. Рассмотрим ряд 
. Для него 
, что представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии.
Если 
, то 
и 
.
Если 
, то и 
.
Если 
, то 
и .
Если 
, то 
и 
не существует.
Таким образом, ряд 
при сходится и расходится при 
. Этот ряд называется геометрическим.
Пусть ряд (1) сходится и 
‑ его сумма.
 , | (2) |
то при 
получаем 
.
Откуда следует необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то
 . | (3) |
Если условие (3) не выполнено. То ряд расходится.
Пример 3. Ряд 
расходится, т.к. 
и 
.
Условие (3) не является достаточным для сходимости рядя. Даже если оно выполнено, ряд может расходится. Покажем это на примере гармонического ряда 
. Для этого ряда 
при , т.е. условие (3) выполнено. В то же время,
,
.
Поэтому 
.
Предположим, что гармонический ряд сходится и ‑ его сумма, т.е. 
при . Поскольку 
, то при получаем 
‑ противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.
Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд 
, называемый остатком ряда (1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка. 6.2