4. Метод собственных функций

Метод собственных функций состоит в отыскании решений задач математической физики в виде рядов по собственным функциям операторов, входящих в исходную задачу.

4.1. Общая схема метода собственных функций.

Lu = F, (8)

где L — линейный оператор с областью определения D(L), F — заданная функция, и е D(L) — искомое решение.

Рассмотрим задачу на собственные значения Lu — Хи и предположим, что нам известны ортонормированные функции {и,,} оператора L, со-ответствующие собственным значениям Х„, п = 1,2,..., причем Х„ не обращаются в нуль. Пусть правая часть F уравнения (8) представима в виде ряда (конечного или бесконечного) по этим собственным функциям: F = 2ІпГпип> где F„ — известные коэффициенты.

Метод собственных функций заключается в следующем. Ищем решение задачи (8) в виде ряда по собственным функциям и„: и = ^с„и„. Подставляя этот ряд в уравнение (8), получаем ^nc„Lu„ = ^lnF„u„. Поскольку Lun = Х„и„, то, используя ортогональность {к,,}, приходим к соотношению с„Х„ — F„. Значит, с„ = F„/X„, и решение и имеет вид

E

F„

Г-""- ,1 А»

Если в бесконечном ряде ограничиться N первыми слагаемыми, то функция вида N

F„

(N)

и /і=і называется приближением N-го порядка к и.

В случае, если при некотором п = т собственное значение Хт есть нуль кратности г и Fm = 0, то общее решение уравнения (8) представляется формулой

F г

пфт " *=1

где Ск — произвольные постоянные, а ищ, к — 1,2,...,г, — линейно независимые собственные функции, соответствующие Хт.

Таким образом, метод собственных функций дает возможность пред-ставить решение задачи (8) в виде ряда по собственным функциям опера-тора L, входящего в исходное уравнение.

Метод собственных функций применяется для широкого класса смешанных задач математической физики.

4.2.

дифференциальное уравнение

где L[u] — эллиптический оператор описанного в разделе 2 вида, заданный в области Q пространства одного, двух или трех измерений, Р — точка области Й, р (Р) — функция, заданная в Й. Через /а обозначим интервал оси t, а именно: (0,®=), если а > 0, и (О, Т), если а < 0. Коэффициенты а и Р — функции от t, заданные и не меняющие знака на /а. Правая часть уравнения ДР; t) — функция, определенная для точек Р из Q и значений

t ИЗ 1а\

краевое условие на границе ЭЙ области Й :

л[«] = *(/>; 0, (Ю)

где функция %{P\t) задана для точек Р на Эй и значений t из /а. Оператор Л[м] описанного в разделе 2 вида задан на Эй, его вид и коэффициенты не зависят от г,

при а < 0 краевые условия

лІИ|,=о=<Р(/>)' A2H|,=7.= V(P); (И)

при а = 0 начальное условие

«1=0= ФС) (12)

и при а > 0 начальные условия

»и=фС). lUr^c)' 03)

где функции Ц>{Р) и \у(Р) заданы и непрерывны в Й, Лі[и] и Лг[м] — одномерные операторы по переменной t с постоянными коэффициентами описанного в разделе 2 вида, заданные в й.

Системы уравнений (9)—(13) задают следующие задачи:

а) при а > 0 уравнение (9) является гиперболическим, задача является смешанной с краевым условием (10) и начальными условиями (13);

б) при а = 0, Р > 0 уравнение (9) параболическое, и имеем для него такую же смешанную задачу, но с одним начальным условием (12);

в) при а = Р = 0 имеем краевую задачу для области Й с краевым условием (10) на ее границе;

г) при а < 0 уравнение (9) является эллиптическим. Этот случай может представиться, когда t обозначает одну из пространственных координат, а область Й менее чем трехмерна. Область Й и интервал /а определяют (если область Й двумерна) цилиндр с образующими, параллельными оси t, и основаниями в плоскостях t = 6 и t = Т или (если Q одномерна) прямоугольник. Для этого эллиптического уравнения имеем краевую задачу в области Й с краевыми условиями (10) на боковой поверхности цилиндра (или боковых сторонах прямоугольника) и (11) на его основаниях.

Предположим, что задача о собственных функциях для области Q, оператора L[«], веса р и краевого условия A[v] = 0 решена; обозначим через Xk(k = 1,2,...) собственные значения и через v* — (нормированные) собственные функции.

Допустим, что и(Р; t) является решением одной из перечисленных выше задач.

u(P-,t) = ? М'ЫР), m{t) = [uiPuHiPMP^ti. *=2 JQ

Для нахождения коэффициентов w*(r) умножим уравнение (9) на функ-цию vt(P)p(P) и проинтегрируем полученное равенство по области Й. Тогда получаем

awl + $w'k + \kwk = ak{t) + Xk{t), (14)

где **(*) = J fvkpdn, ?2

— J vk%da в случае краевого условия третьего рода, Эй

ш =

Эй dvk

-1- в случае краевого условия первого рода. Э?2

Таким образом, получено обыкновенное дифференциальное уравнение для k-го коэффициента Фурье wk искомой функции и. Это дифференциальное уравнение является следствием исходного дифференциального уравнения в частных производных (9) и краевого условия (10). Рассмот-? рим, как в каждом из четырех случаев, объединенных нашей схемой, удовлетворить добавочным условиям задачи.

Случаи а) и б). Если а > 0, или а = 0 и Р > 3, т.е. в случае смешанной задачи, начальные условия (12) и (13) дают начальные условия для wk. Действительно,

wjt(O) = J u{P;0)vkpdfi = J и

dwk fdu(P, 0) J f

ИГ ,=SI Si

где через bk обозначены коэффициенты Фурье функции ф, а через ск — функции (если а > 0). При а > 0 уравнение (14) и два начальных условия определяют единственное решение. При а = 0, Р > 0 уравнение (14) первого порядка и одного (первого) условия достаточно для однозначного определения wk.

Случай j). При а = Р = 0 уравнение (14) не является дифференциальным, и поэтому, естественно, нет более никаких добавочных условий. Остановимся подробнее на исследовании уравнения (14) в этом случае. Если ни одно Хк не равно нулю, то это уравнение, очевидно, разрешимо при любом к и wk = jL (ак + Хк). Коэффициенты wk оказываются постоянными, и ряд Фурье дает искомое решение. Если же одно из Хк, например, Xj, равно нулю, то уравнение (14) может иметь решение при к = j ТОЛЬКО при условии, ЧТО Clj + Xj = 0.

Таким образом, краевая задача оказывается корректной не всегда. Именно, она корректна, если нуль не является собственным значением оператора L[u] при рассматриваемом краевом условии и весе. В противном случае, т. е. если какое-нибудь Xj = 0, краевая задача имеет решения, и притом бесчисленное множество, лишь для таких правых частей уравнения (9) и краевого условия (10), при которых а} + Xj = 0. В применении к оператору L[u] = А и отсюда можно сделать следующие выводы. Оператор А и имеет нулевое собственное значение только при краевом

условии — 0. В этом последнем случае соответствующая собственная функция постоянна. Поэтому краевая задача для оператора Лапласа

корректна для любых краевых условий, кроме ^ = 0 на границе. Следовательно, за исключением этого случая, ее единственное решение при любой правой части уравнения —Ли = / и краевого условия (10) может

быть записано в форме ряда и = V~ r—vk(ak + Xk), где vk — собственные

1 хк

функции задачи, а ак — коэффициенты Фурье функции /, а Хк определены

л

выше. В случае краевого условия Sjjj = % задача некорректна. Она будет разрешима, только если функция /их удовлетворяют соотношению

J fpdn+ j %do = 0.

й Эй

В этом случае решение определяется формулой

ос J

U= У T-Zk(ak + Xk)+c, *=іЛ*

где v* — собственные функции задачи, отличные от постоянной, а с — произвольная постоянная.

Случай г). При а < 0 уравнение (14) рассматривается на интервале (0, Т), и на концах этого интервала из (11) получаются краевые условия для Wk- Действительно,

ЛіМ ^ = {Л, [f u(P,d)ukpd^}i=o = JЛ|[и] i=(vkpdfi=bb й й

Л2Н|,=7-= J A2[u]^=TVkpdfi= J yvkpdfi = Ck. й й Таким образом, для и>* имеем краевую задачу на интервале (0, Т). Для ее

исследования удобно представить первые два слагаемых а + (З в

dt

форме L[u] = Jj (p^fj • Для этого достаточно, очевидно, умножить (14)

на —р = Q ехр (J ^ dt^j и положить р = ехр {^j ^ dt^.

примет вид L[u] — Хкри = —р(<я^ + На основании сказанного по поводу задачи в) можно теперь заметить, что задача отыскания w* однозначно разрешима для всех к при любых а*, А'к, Ьк и с*, если нуль не является собственным значением для оператора L[w\ + или, что то же самое,

ни одно — Хк нс является собственным значением для оператора L[w\ при весе р и краевых условиях Лі[и>]|*=0 = Л2М1'=г = 0. При соблюдении этого условия рассматриваемая задача корректна.

Заметим еще, что все собственные значения оператора L неотрицательны, а наименьшее собственное значение может равняться нулю только

в том случае, когда Ai[w] = Лг[и>] = 2Ц-.

4.3. О решении задач с неоднородными граничными условиями.

В случае неоднородной задачи нельзя применять оператор L[u\ почленно к ряду Фурье. Это можно делать в случае, если и удовлетворяет однородным краевым условиям. Поэтому задачи с неоднородными краевыми условиями иногда целесообразно решать другими методами. Изложим схему некоторых из них.

Краевые задачи. Здесь можно применить еще следующие два метода.

1 °. Выбрать систему координат так, чтобы область Q превратилась в прямоугольник или параллелепипед. Расщепить задачу на несколько задач так, чтобы в каждой из них неоднородность краевого условия сохранилась только на одной паре противоположных сторон или граней. Затем к каждой из этих задач применить метод решения задачи в) настоящего раздела (если это окажется возможным).

2°. Найти какую-нибудь дважды дифференцируемую в Q функцию UQ, удовлетворяющую краевому условию, и ввести новую искомую функцию (7, положив и = uq + й. Для й получается аналогичная краевая задача, но уже с однородным краевым условием (и с другой правой частью уравнения).

Смешанные задачи. Здесь имеются следующие возможности.

1°. Так же как, в методе 2° решения чисто краевых задач, описанном выше, найти какую-нибудь функцию но, удовлетворяющую краевому условию. Сделать замену и = и о + й. Для функции й получится однородное краевое условие и измененные правые части уравнения и начальных условий.

2°. Решить предварительно краевую задачу, которая получается, если отбросить в уравнении члены с производной по времени и начальные условия. Решение этой задачи обозначить через U4 и применить предыдущий метод. Этот метод применим, если решение «о, которое будет зависеть от t как параметра, когда Xй/ зависят от г, дважды дифференцируемо по /.