<<
>>

4. Метод собственных функций

Метод собственных функций состоит в отыскании решений задач математической физики в виде рядов по собственным функциям операторов, входящих в исходную задачу.

4.1. Общая схема метода собственных функций.

Предположим, что рассматривается задача математической физики, записанная в виде линейного (неоднородного) уравнения

Lu = F, (8)

где L — линейный оператор с областью определения D(L), F — заданная функция, и е D(L) — искомое решение.

Рассмотрим задачу на собственные значения Lu — Хи и предположим, что нам известны ортонормированные функции {и,,} оператора L, со-ответствующие собственным значениям Х„, п = 1,2,..., причем Х„ не обращаются в нуль. Пусть правая часть F уравнения (8) представима в виде ряда (конечного или бесконечного) по этим собственным функциям: F = 2ІпГпип> где F„ — известные коэффициенты.

Метод собственных функций заключается в следующем. Ищем решение задачи (8) в виде ряда по собственным функциям и„: и = ^с„и„. Подставляя этот ряд в уравнение (8), получаем ^nc„Lu„ = ^lnF„u„. Поскольку Lun = Х„и„, то, используя ортогональность {к,,}, приходим к соотношению с„Х„ — F„. Значит, с„ = F„/X„, и решение и имеет вид

E

F„

Г-""- ,1 А»

Если в бесконечном ряде ограничиться N первыми слагаемыми, то функция вида N

F„

(N)

и /і=і называется приближением N-го порядка к и.

В случае, если при некотором п = т собственное значение Хт есть нуль кратности г и Fm = 0, то общее решение уравнения (8) представляется формулой

F г

пфт " *=1

где Ск — произвольные постоянные, а ищ, к — 1,2,...,г, — линейно независимые собственные функции, соответствующие Хт.

Таким образом, метод собственных функций дает возможность пред-ставить решение задачи (8) в виде ряда по собственным функциям опера-тора L, входящего в исходное уравнение.

Метод собственных функций применяется для широкого класса смешанных задач математической физики.

4.2.

Метод собственных функций для дифференциальных уравнений математической физики. Рассматриваются:

дифференциальное уравнение

где L[u] — эллиптический оператор описанного в разделе 2 вида, заданный в области Q пространства одного, двух или трех измерений, Р — точка области Й, р (Р) — функция, заданная в Й. Через /а обозначим интервал оси t, а именно: (0,®=), если а > 0, и (О, Т), если а < 0. Коэффициенты а и Р — функции от t, заданные и не меняющие знака на /а. Правая часть уравнения ДР; t) — функция, определенная для точек Р из Q и значений

t ИЗ 1а\

краевое условие на границе ЭЙ области Й :

л[«] = *(/>; 0, (Ю)

где функция %{P\t) задана для точек Р на Эй и значений t из /а. Оператор Л[м] описанного в разделе 2 вида задан на Эй, его вид и коэффициенты не зависят от г,

при а < 0 краевые условия

лІИ|,=о=<Р(/>)' A2H|,=7.= V(P); (И)

при а = 0 начальное условие

«1=0= ФС) (12)

и при а > 0 начальные условия

»и=фС). lUr^c)' 03)

где функции Ц>{Р) и \у(Р) заданы и непрерывны в Й, Лі[и] и Лг[м] — одномерные операторы по переменной t с постоянными коэффициентами описанного в разделе 2 вида, заданные в й.

Системы уравнений (9)—(13) задают следующие задачи:

а) при а > 0 уравнение (9) является гиперболическим, задача является смешанной с краевым условием (10) и начальными условиями (13);

б) при а = 0, Р > 0 уравнение (9) параболическое, и имеем для него такую же смешанную задачу, но с одним начальным условием (12);

в) при а = Р = 0 имеем краевую задачу для области Й с краевым условием (10) на ее границе;

г) при а < 0 уравнение (9) является эллиптическим. Этот случай может представиться, когда t обозначает одну из пространственных координат, а область Й менее чем трехмерна. Область Й и интервал /а определяют (если область Й двумерна) цилиндр с образующими, параллельными оси t, и основаниями в плоскостях t = 6 и t = Т или (если Q одномерна) прямоугольник. Для этого эллиптического уравнения имеем краевую задачу в области Й с краевыми условиями (10) на боковой поверхности цилиндра (или боковых сторонах прямоугольника) и (11) на его основаниях.

Предположим, что задача о собственных функциях для области Q, оператора L[«], веса р и краевого условия A[v] = 0 решена; обозначим через Xk(k = 1,2,...) собственные значения и через v* — (нормированные) собственные функции.

Допустим, что и(Р; t) является решением одной из перечисленных выше задач.

Разложим это решение в ряд Фурье по функциям {v*}. Коэффи-циенты этого разложения будут, очевидно, функциями от t, и обозначим их через wk(t), так что

u(P-,t) = ? М'ЫР), m{t) = [uiPuHiPMP^ti. *=2 JQ

Для нахождения коэффициентов w*(r) умножим уравнение (9) на функ-цию vt(P)p(P) и проинтегрируем полученное равенство по области Й. Тогда получаем

awl + $w'k + \kwk = ak{t) + Xk{t), (14)

где **(*) = J fvkpdn, ?2

— J vk%da в случае краевого условия третьего рода, Эй

ш =

Эй dvk

-1- в случае краевого условия первого рода. Э?2

Таким образом, получено обыкновенное дифференциальное уравнение для k-го коэффициента Фурье wk искомой функции и. Это дифференциальное уравнение является следствием исходного дифференциального уравнения в частных производных (9) и краевого условия (10). Рассмот-? рим, как в каждом из четырех случаев, объединенных нашей схемой, удовлетворить добавочным условиям задачи.

Случаи а) и б). Если а > 0, или а = 0 и Р > 3, т.е. в случае смешанной задачи, начальные условия (12) и (13) дают начальные условия для wk. Действительно,

wjt(O) = J u{P;0)vkpdfi = J и

dwk fdu(P, 0) J f

ИГ ,=SI Si

где через bk обозначены коэффициенты Фурье функции ф, а через ск — функции (если а > 0). При а > 0 уравнение (14) и два начальных условия определяют единственное решение. При а = 0, Р > 0 уравнение (14) первого порядка и одного (первого) условия достаточно для однозначного определения wk.

Случай j). При а = Р = 0 уравнение (14) не является дифференциальным, и поэтому, естественно, нет более никаких добавочных условий. Остановимся подробнее на исследовании уравнения (14) в этом случае. Если ни одно Хк не равно нулю, то это уравнение, очевидно, разрешимо при любом к и wk = jL (ак + Хк). Коэффициенты wk оказываются постоянными, и ряд Фурье дает искомое решение. Если же одно из Хк, например, Xj, равно нулю, то уравнение (14) может иметь решение при к = j ТОЛЬКО при условии, ЧТО Clj + Xj = 0.

Если это условие выполнено, то wk произвольно, и потому ряд Фурье дает бесчисленное множество решений, отличающихся друг от друга на собственные функции, соответствующие нулевым собственным значениям.

Таким образом, краевая задача оказывается корректной не всегда. Именно, она корректна, если нуль не является собственным значением оператора L[u] при рассматриваемом краевом условии и весе. В противном случае, т. е. если какое-нибудь Xj = 0, краевая задача имеет решения, и притом бесчисленное множество, лишь для таких правых частей уравнения (9) и краевого условия (10), при которых а} + Xj = 0. В применении к оператору L[u] = А и отсюда можно сделать следующие выводы. Оператор А и имеет нулевое собственное значение только при краевом

условии — 0. В этом последнем случае соответствующая собственная функция постоянна. Поэтому краевая задача для оператора Лапласа

корректна для любых краевых условий, кроме ^ = 0 на границе. Следовательно, за исключением этого случая, ее единственное решение при любой правой части уравнения —Ли = / и краевого условия (10) может

быть записано в форме ряда и = V~ r—vk(ak + Xk), где vk — собственные

1 хк

функции задачи, а ак — коэффициенты Фурье функции /, а Хк определены

л

выше. В случае краевого условия Sjjj = % задача некорректна. Она будет разрешима, только если функция /их удовлетворяют соотношению

J fpdn+ j %do = 0.

й Эй

В этом случае решение определяется формулой

ос J

U= У T-Zk(ak + Xk)+c, *=іЛ*

где v* — собственные функции задачи, отличные от постоянной, а с — произвольная постоянная.

Случай г). При а < 0 уравнение (14) рассматривается на интервале (0, Т), и на концах этого интервала из (11) получаются краевые условия для Wk- Действительно,

ЛіМ ^ = {Л, [f u(P,d)ukpd^}i=o = JЛ|[и] i=(vkpdfi=bb й й

Л2Н|,=7-= J A2[u]^=TVkpdfi= J yvkpdfi = Ck. й й Таким образом, для и>* имеем краевую задачу на интервале (0, Т). Для ее

исследования удобно представить первые два слагаемых а + (З в

dt

форме L[u] = Jj (p^fj • Для этого достаточно, очевидно, умножить (14)

на —р = Q ехр (J ^ dt^j и положить р = ехр {^j ^ dt^.

Тогда уравнение

примет вид L[u] — Хкри = —р(<я^ + На основании сказанного по поводу задачи в) можно теперь заметить, что задача отыскания w* однозначно разрешима для всех к при любых а*, А'к, Ьк и с*, если нуль не является собственным значением для оператора L[w\ + или, что то же самое,

ни одно — Хк нс является собственным значением для оператора L[w\ при весе р и краевых условиях Лі[и>]|*=0 = Л2М1'=г = 0. При соблюдении этого условия рассматриваемая задача корректна.

Заметим еще, что все собственные значения оператора L неотрицательны, а наименьшее собственное значение может равняться нулю только

в том случае, когда Ai[w] = Лг[и>] = 2Ц-.

4.3. О решении задач с неоднородными граничными условиями.

В случае неоднородной задачи нельзя применять оператор L[u\ почленно к ряду Фурье. Это можно делать в случае, если и удовлетворяет однородным краевым условиям. Поэтому задачи с неоднородными краевыми условиями иногда целесообразно решать другими методами. Изложим схему некоторых из них.

Краевые задачи. Здесь можно применить еще следующие два метода.

1 °. Выбрать систему координат так, чтобы область Q превратилась в прямоугольник или параллелепипед. Расщепить задачу на несколько задач так, чтобы в каждой из них неоднородность краевого условия сохранилась только на одной паре противоположных сторон или граней. Затем к каждой из этих задач применить метод решения задачи в) настоящего раздела (если это окажется возможным).

2°. Найти какую-нибудь дважды дифференцируемую в Q функцию UQ, удовлетворяющую краевому условию, и ввести новую искомую функцию (7, положив и = uq + й. Для й получается аналогичная краевая задача, но уже с однородным краевым условием (и с другой правой частью уравнения).

Смешанные задачи. Здесь имеются следующие возможности.

1°. Так же как, в методе 2° решения чисто краевых задач, описанном выше, найти какую-нибудь функцию но, удовлетворяющую краевому условию. Сделать замену и = и о + й. Для функции й получится однородное краевое условие и измененные правые части уравнения и начальных условий.

2°. Решить предварительно краевую задачу, которая получается, если отбросить в уравнении члены с производной по времени и начальные условия. Решение этой задачи обозначить через U4 и применить предыдущий метод. Этот метод применим, если решение «о, которое будет зависеть от t как параметра, когда Xй/ зависят от г, дважды дифференцируемо по /.

<< | >>
Источник: Агошков, Валерий Иванович. Методы решения задач математической физики:. 2002

Еще по теме 4. Метод собственных функций:

  1. 1.ПРЕДМЕТ, МЕТОД И ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА
  2. ЭВРИСТИЧЕСКОЕ ВЛИЯНИЕ ФИЛОСОФИИ НА ФИЗИКУ:МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ КОНЦЕПЦИИ ЭВРИСТИЧЕСКОГО РЕАЛИЗМА И КОМПАРАТИВИСТСКИЙ (СРАВНИТЕЛЬНЫЙ) АНАЛИЗ
  3. СООТНОШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И РЕГУЛЯТИВНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛОСОФСКИХ ПРИНЦИПОВ в ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  4. 4.2. Методы регулирования деятельности естественныхмонополий.
  5. 3. Социальная философия как методология общественных наук
  6. Стиль САМОРЕГУЛИРОВАНИЯ И ЕГО ФУНКЦИИ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА
  7. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
  8. § 1. Понятие административно-правовых методов
  9. Понятие и классификация функций права
  10. Глава 2. Правовые основы собственности
  11. § 4. ФУНКЦИИ ФИЛОСОФИИ В НАУЧНОМ ПОЗНАНИИ
  12. § 7. О СОВРЕМЕННОЙ МЕТОДОЛОГИИ
  13. 2. Понятия и предложения из теории функций и функционального анализа
  14. Глава ЗМетоды разложений по собственным функциям
  15. 2. Задачи на собственные значения
  16. 4. Метод собственных функций
  17. 5. Метод собственных функций для задач теории электромагнитных явлений
  18. 6. Метод собственных функций для задач теплопроводности
  19. 7. Метод собственных функций для задач теории колебаний
  20. § 1.3. Административно-правовые формы и методы взаимодействия полиции с институтами гражданского общества.