5. Метод собственных функций для задач теории электромагнитных явлений

5.1. Задача об ограниченной телеграфной линии. Рассмотрим ограниченную телеграфную линию длины I с распределенными постоянными С, L, R, G. Начало координат поместим в ее левом конце.

начальным условиям

где a2 =CL, Р = CR±LG, у2 = RG;

ди(х, 0)

и(*;0) - —^— = о

и краевым условиям u(l\t) = 0, «(0;/) = V. Уравнение соответствующей задачи о собственных значениях имеет вид v" - y2v + Xv = 0, а краевые условия — вид v(0) = v(l) = 0. Эта задача о собственных значениях сводится к задаче, решенной в разделе 2, если обозначить X — у2 через fi. Поэтому ц„ = (п2п2/12) и, следовательно, Х„ = у2 + (п2л2)/12, a v„ = sin [птіх/l).

7 д2и ди 7 д2и

Ищем решение в виде ряда Фурье и (л; t) = w„(t) sin (ппх/1). Умножая уравнение на (2/I) sin (ппх/I) и интегрируя по л в пределах от О до /, получим уравнение

a>< + 2vw> + (f + ^)wn = 2fv

с начальными условиями w„(0) = и/,(0) = 0. Интегрируя его, находим vv„ и решение и нашей задачи.

Для конкретности рассмотрим случай V = const. Характеристическое уравнение имеет вид а2г2 + 2$г + (у + (п2п2)/12) = 0. Его корни п,г — = -X ± г'со,,, где X = Р/а2 = (1/2)((R/L) + (G/C)) и

1 I 4п2п2 ~/R G\2

Если (R/L) — (G/C) = 0, т. е. линия «без искажения», то со,, = Очевидно, общим решением уравнения будет

Wn(t) = (C;,COS((0w0+<,sin(C0„0)e"X<+ 2 fm,2 2V-

пп +гт

Начальные условия дают

с- 2пп у с"- — V

n2n2 + l2f ' со „(«V + /Y) '

откуда

= 2 2ПП,2 2 І 1 - ^(COS (««0 + 7Г Sin (Ш«0) } V. ПТГ + /у I )

Таким образом, решение нашей задачи задается рядом

U(X-, t) = V^ 2 2ПЛ,2 2 I 1 _ e-X,(cOS (Ш„,) + A sin (СО,,/)) 1 sin

„=1 wV + /V I СО,, J /

Заметим, что для первых значений и (при н < ? — ? |) частоты

со,, могут оказаться мнимыми.

sin со,,/ sh?„/

cosco „/ = ch^,,/,

^-^{-.-(«ЬЬ.^)},

ующие слагаемые ряда Фурье будут иметь вид 2 nnV Ґ / , t sh ?j,t \ ) . ппх

5.2. Электростатическое поле внутри бесконечной призмы. Рассмотрим прямоугольную бесконечную призму, каждая грань которой является проводящим электродом, а друг от друга эти грани изолированы. Потенциалы граней обозначим соответственно через mi,«2,«3>"4- Потен-циал поля и не зависит от г. Этот потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Аи — 0 и краевым условиям и и = «3, и .х=0 у=0 х=а = U 4.

у=1> = V — V = V — 0 л=0 у=0 х=а у=Ь 2 2 _ пАпг

Соответствующая задача о собственных значениях будет иметь вид Av + Xv = О,

п2п2 Ь2 '

л пу

Собственные значения этой задачи определяются по формулам

т,п — 2

а

. птх .

vm,„ = sin sin

a b

а собственные функции имеют вид

VM,„ = sil

Ищем решение в виде ряда Фурье S

. птх . nпу wmi„ sin sin — .

m,rt= I a Ь

Умножая уравнение Ди = 0 на (4/ab) sin (птх/а) sin (nny/b), интегрируя по прямоугольнику ?2, получаем выражение для wmi„: wm<„ =

"ПТ {^т Iі + Ч"+Ч[«1 + <-l)"+l«j] +

пт

л /г і. а + ^[1 + (-1Г+1][«2 + (-1)"+1«4]}.

5.3. Задача об электростатическом поле внутри цилиндра. Рассмотрим бесконечный круглый цилиндр радиуса R. Потенциал стенки цилиндра задан и постоянен вдоль каждой образующей цилиндра.

Направим ось z вдоль оси цилиндра. Очевидно, потенциал и не будет зависить от г, и имеем снова плоскую задачу. Обозначим круг, полученный в сечении цилиндра плоскостью (дг, у), через ?2, а его контур — через Э?2. Потенциал и удовлетворяет уравнению Ди = 0 и краевому условию м1эй = /, гДе / — заданная функция на окружности Э?2.

Введем полярные координаты гиф. Область ?2 будет координатным четырехугольником в переменных г, ф. Уравнение примет вид

г 2-г— —-О дг дг Эф2

На двух сторонах четырехугольника будем иметь краевые условия j du диі

1ф=0 Ф=2л' Эф Ф=0 Эф 1ф=2п

Кроме того, вблизи начала координат, т.

Рассмотрим систему собственных функций оператора Av в круге ?2 с краевым условием = 0. Собственные функции имеют вид

vo,». = ^/э i^nj} ("= 1.2,...),

v2m— 1 ,н = Jm {К Sin »1ф, v2m,„ = Jm ^ COSМф (п- 1,2,3,..., т- 1,2,3,...).

где Jm — функция Бесселя, — л-й корень уравнения Jm(x) = 0, а соответствующее собственное значение равно Х2т-\,„ = Хъп,п = /R2. Будем искать решение нашей задачи в виде ряда Фурье по функциям ЭТОЙ системы U = Xjt=0n=l Wk,nvk,n- ДЛЯ ОПрЄДЄЛЄНИЯ Коэффициентов W^,, умножим уравнение на v^ ,, и проинтегрируем по О.. Получим

2 а0 2 am- \ 2а2т

^0,11 = А ., , А, ; W2m-l,;i = т , , ms 1 W2m,/| = --

где Й0j А2Т— 11 В2Т ~ Коэффициенты Фурье фуНКЦИИ / ПО СИСТЄМЄ 1/2, sin/жр, cos/иф. Поэтому решением разбираемой задачи будет функция и, записанная в виде ряда ?

0;;°0/0 -2 X («2ш-1 sin ,идс + а 2т cosmx) "j

4 Л m=l Расположив начало координат в центре сферы и введя сферические координаты, приведем уравнение Лапласа к виду

Э / 2дм\ 1 Г д / . пди\ 1 Э2м"|

дг Тг)+ 1эё (sme Э0)+ ^в =

При г = const функция и задана на сфере радиуса г, поэтому ее можно разложить по сферическим функциям в ряд, коэффициенты которого зависят от г:

и = ? W„IO/H(COS0) + ?[ИЯ2*_1 sin/сф + wlli2*cos^]/'„>t(cos9)] .

«=0 ^ *=1 '

Определим сначала коэффициенты wH)o. Умножим исходное уравнение на ((2и+ l)/(2Tt))/>„(cos0)sin0 и проинтегрируем по 0 от 0 до п и по ф от О до 2п. Тогда получим, что

2л л

(

r\n 2п+ 1 /г\и Г г -J J J //>„(cos0)sin0о о

Зная эти коэффициенты, можно найти значение и в точках положительной полуоси z (т.е.

к > 0, />„,*(cosO) = 0, то и = ХГ=о ^f (?)" •

Пусть теперь требуется вычислить и в произвольной точке (г, 0, ф). Проведем из центра через эту точку луч и примем его за ось z\ новой системы координат. Тогда

/1=0 z ЧЛ/

2л л

Ь„,о= J J f(Qi,q>i)Pn(cosy)smeideidq>i,

о о

где у — угол между лучами, направленными в точку (г, 0, ф) и переменную точку (/"ьОьфі). Этот угол является широтой в нашей новой системе координат. Для Ьпр получим

п

b,,fi = anfiPn(cosQ) + 2 YJ [a„t2kcosky + a„i2k-i sin/^]/>Hi*(cos0), *=i

где a„ti — коэффициенты Фурье разложения функции / по основным сферическим функциям. Тогда формула для н(г, 0, ф), имеющая вид

X (x<4o/«(cos0) + ^^„^-isin^ + ^^cos^J^^^cosO)] , /1=0 (Z *=i ' ЧЛ/

дает решение поставленной задачи. Заметим, что слагаемые этой суммы являются основными внутренними шаровыми функциями.

Этот результат можно сформулировать так: гармоническая внутри шара радиуса R функция и, непрерывная вплоть до его поверхности, может быть разложена в ряд по основным шаровым внутренним функциям. Ко-эффициентами этого разложения являются коэффициенты Фурье значения разлагаемой функции на поверхности шара, разделенные на R".

5.5. Поле заряда, индуцированного на сфере. Рассмотрим электростатическое поле, образованное зарядом в, расположенным на расстоянии а от центра проводящего шара радиуса R (а > R), а также плотность индуцированных на поверхности этого шара зарядов.

Расположим начало координат в центре шара и ось z направим через точку Р, в которой расположен заряд. Введем сферические координаты.

Потенциал и поля можно представить в виде суммы двух Потенциалов и = мі +и2, где мі — потенциал заряда є, расположенного в точке Р,

a U2 — потенциал зарядов, индуцированных на поверхности шара.

Потенциал мі внутри сферы радиуса а может быть представлен рядом

<*> pfl

/1=0 а

а вне ее — рядом

°° а"

= ЄХ 3rrr/>«(cos0)'

п=0 *

где Р„ — полиномы Лежандра.

Что касается м2, то (ввиду осевой симметрии поля) он может быть представлен внутри сферы радиуса R рядом

"2= ? />«(cos0)' /і=0

а вне ее — рядом

і 1 /Я"+> «2=і;Яя,о - Л.(cosЄ), /1=01 r

где коэффициенты a„fi подлежат определению. Но внутри шара радиуса R суммарный потенциал и = и\ + м2 постоянен (м = С) (шар проводящий). Поэтому мы получаем (1/2)а„,о = -e(Rn/an+1) (п> 0), (1/2)ао,о = = С — (tja), где С пока остается неопределенным. Подставляя эти коэффициенты в выражение для иг, найдем м2 вне шара радиуса R. Поэтому в слое между сферами радиусов R и a (R < г < а) мы имеем

-[(^ЗМі^ІГ'-^да-

а вне сферы радиуса а

pD

Отсюда получается Нш (иг) = CR — Чг + Є. Известно, что этот пре-

r—too

дел равен суммарному заряду є, имеющемуся в поле. Поэтому С = е/а, следовательно, искомая плотность р зарядов на сфере будет иметь вид

Р =

4л aR 4nfi(fi2-2aficos0 + a2)3/2'