<<
>>

1.4. ПРИМЕРЫ

Пример 1. Изучается зависимость стоимости квартиры у (тыс, у.е.) от ее общей площади я1 (кв.м.) Для удобства анализ а данные (x1, у) упорядочены по переменной я1 и записаны в следующей таблице. Ж1 28 29 32 35 40 44 45 51 53 У 5.3 9.2 15.2 20.7 21.7 36.5 39.3 52.7 55.4 x1 58 64 65 73 75 80 83 93 - У 64.3 76 79.1 94.8 101 89.5 114.8 137.4 - Из этой таблицы видно, что практически для всего набора данных росту я1 соответствует возрастание у.

Требуется установить зависимость между у и я1 в линейной форме (уровень значимости равен 5%), Здесь объем выборки n =17, Опираясь па таблицу данных и формулы раздела 1,2,2, находим, что

Х1 = 55.76, у = 59.55,_ Qxixi = 6557.06, Qxiy = 12714.79, Qee = 27.09, b0 = —48.4705, b1 = 1.9377.

Для обоснованности применения указанных формул рассмотрим выборку остатков. Используя найденные оценки b0, получим набор чисел e1, e2,..., e17:

- 0.48, 1.48, 1.67, 1.35, - 7.34, - 0.29, 0.58, 2.35, 1.17, 0.39, 0.46, 1.62, 1.82,

4.15, - 17.04, 2.44, 5.67.

В качестве примера вычислим e2. Имеем:

Є2 = У2 — (b0 + b1 Х12) = 9.2 — (—48.4705 + 1.9377 ¦ 29) = 1.4772 « 1.48.

Обратимся к проверке гипотезы H0 об отсутствии автокорреляции остатков, ис-

а = 5% k = 1 n = 17 находим значения статистик dL = 1.13, d^ = 1.38 Вычисляя величину d по формуле (34), получаем, что d = 1.67 и верно неравенство d^ < d < 4 — du- Поэтому гипотеза H0 принимается.

Проверим гипотезу H0 о том, что остатки получены из генеральной совокупности с нормальным распределением. Для этого вычислим выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, которые будут равны Ae = —2.65, Ee = 8.05, Получим, что

|Ае| = 2.65 > 3 ^D(Ae) = 3^0.266 = 1.55, |Ee| = 8.05 > 5 лЩЩ = 5 V0.601 = 3.88.

Отсюда делаем вывод о том, что генеральное распределение остатков скорее всего отличается от нормального. Поскольку объем выборки небольшой, то нет оснований применять формулы (17), (18) и (19) для проверки значимости линейной зависи-

b1

у

Раеемотрим гипотезу H0 об отсутствии гетероскедаетичноети.

Зададим а = 5%, Поскольку нормальность распределения остатков не подтверждена, то на это свойство опираться нельзя. Поэтому применим здесь тест ранговой корреляции Спирме- на, В исходной таблице данных переменные x1i упорядочены по возрастанию и среди них нет совпадающих элементов. Потому ранг x1i равен вн = г, 1 < г < 17. Выборка, содержащая модули остатков, имеет вид

0.48, 1.48, 1.67, 1.35, 7.34, 0.29, 0.58, 2.35, 1.17, 0.39, 0.46, 1.62, 1.82, 4.15,

17.04, 2.44, 5.67.

Упорядочивая эту выборку по возрастанию, находим ранги ее элементов:

Ти = 4, 712 = 8, 713 = 10, 714 = 7, 715 = 16, 7^ = 1, 717 = 5, 713 = 12, 719 = 6,

7110 = 2, 7111 = 3, 7112 = 9, 7113 = 11, 7114 = 14, 7115 = 17, 7115 = 13, 7117 = 15.

Используя формулу (49), вычислим коэффициент ранговой корреляции по Спирме- ну. Получим = 0.45. По формуле (50) находим, что Ts = 1.952. Сравним Ts с критическим значением ta распределения Стыодента с n — 2 = 15 степенями свободы (таблица П2), Имеем, что Ts = 1.952 < = 2.131. Следовательно, гипотеза H0 принимается, и можно считать, что имеет место гомоекедаетичноеть результатов наблюдений (измерений).

у

x1

у « —48.47+1.94 x1. Естественно, что более детальный анализ изучаемой зависимости требует привлечения и других объясняющих переменных. К ним могут относиться, например, этаж, тип дома и т.д.

у

по которым получены следующие данные:

x1 x1 3.5 5.0 6.5 10.5 13.0 У 16.4 15.2 14.6 20.8 26.6 x1 4.0 7.5 8.5 6.0 12.5 У 12.7 15.5 17.0 14.2 25.9

Требуется построить и обосновать линейную зависимость между у и x (уровень зна-

5% n = 10

дела 1.2.2, находим, что b0 = 7.72, b1 = 1.32. Следовательно, зависимоеть у от x1 приближенно описывается формулой у « 7.72 + 1.32 x1.

Как и в предыдущем примере, рассмотрим выборку остатков. Используя найденные оценки b0, b1; получим (с учетом округления) набор чисел e1, e2,... ,e10:

4.06, 0.88, —1.71, —0.79, 1.71, —0.30, —2.13, —1.95, —1.45, 1.67.

Проверим, что эти остатки получены из генеральной совокупности с нормальным распределением.

Вычислим выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, которые будут соответственно равны Ae = 0.86, Ee = 0.003, Получим, что

|Ae| = 0.86 < 3 ^/D(Ae) = 3 V0.377 = 1.84, |Ee| = 0.003 < 5 ^/D(Ee) = 5 V0.569 = 3.77.

Поэтому будем считать, что генеральное распределение остатков описывается нормальным законом.

Обратимся к проверке гипотезы H0 об отсутствии автокорреляции остатков, ис-пользуя критерий Дарбина-Уотсона, Выбирая а = 5% k = 1, n = 10, из таблицы ПЗ находим значения статистик dL = 0.88, d^ = 1.32. Вычисляя величину d по формуле (34), получаем, что d = 1.12 и верно неравенство dL < d < du- Поэтому гипотеза H0 не может быть принята или отвергнута. Здесь требуется привлечение дополнительных данных или других критериев проверки этой гипотезы.

Рассмотрим теперь гипотезу H0 об отсутствии гетероекедаетичноети. Поскольку гипотеза о нормальном распределении остатков подтверждена, то можно использовать тест Голдфелда-Квандта, Имеем, что

x11 = 3.5, x12 = 5.0, x13 = 6.5, x14 = 10.5, x15 = 13.0,

x16 = 4.0, x17 = 7.5, x18 = 8.5, x19 = 6.0, x110 = 12.5.

Упорядочим значения объясняющей переменной x1 в порядке возрастания. Получим следующий порядок их расположения:

Х1Ъ x12, x13, x18, x14, x110, x15.

В соответствии с этим порядком выборка остатков запишется в такой последовательности

Є1, Єб, Є2, Є9, Єз, Є7, Є8, Є4, бю, Є5,

иначе,

4.06, —0.30, 0.88, —1.45, —1.71, —2.13, —1.95, —0.79, 1.67, 1.71.

Зададим число m как целую часть от дроби n/3 = 10/3, Округляя в большую сторону, возьмем m = 3. Тогдa n — m + 1 = 8 Для вычисления величины G по формулам (46), (47) из упорядоченной выборки остатков выберем первый, второй, третий остат-

G1

G2

G1 = (4.06)2 + (—0.30)2 + (0.88)2 = 17.348, G2 = (—0.79)2 + (1.67)2 + (1.71)2 = 6.3371,

17.348

Gmax = 17.348, Gmin = 6.3371, G = —— = 2.74.

6.3371

Критическое значение Fa распределения Фишера выбирается для уровня значимости а = 5% и числа степеней свободы f1 = f2 = m — k = 3 — 1 = 2, т.е, Fa = 19.0, Так как выполнено неравенство G < Fa, то гипотезу H0 принимаем и считаем, что имеет место гомоекедаетичноеть результатов наблюдений (измерений).

Оценим значимость линейной зависимости на уровне 5%, Сначала применим первый способ.

По формуле (17) вычислим величину F, Она будет равна F = 38.18, Эту величину сравним с критическим значением Fa распределения Фиш ера с f1 = 1 и = 8 степенями свободы на уровне значимоети а = 0.05 (см, таблицу П1), Это значение равно F0.05 = 5.32. Поскольку выполнено неравенетво F > F0.05, то считаем, что между переменными x1 и y действительно имеется линейная зависимость. Применим далее второй способ и построим границы доверительного интервала для параметра Используя формулы (14) и (18), уровень значимости 5%, получим, что ta = t0.05 = 2.306 и 61 Є 11 = (0.84,1.8). Как видно, доверительный интервал 11 не накрывает число ноль, поэтому и здесь принимаем решение о том, что между x1 и y имеется линейная зависимость.

Полученные результаты говорят о том, что для анализа данных можно применять формулу линейной зависимости y « 7.72 + 1.32 x1 и формулу (19) для оценки уро-жайности y при заданном значении x1 = хЦ внесенных удобрений (с указанной выше оговоркой, вызванной значением коэффициента d), Отметим здесь, что коэффициент 60 = 7.72 указывает на нижнюю границу урожайности без применения удобрений. Коэффициент 61 = 1.32 отражает прирост урожайности на одну тонну внесенных удобрений.

Пример 3. Изучается зависимость товарооборота магазина y (тыс, руб./нед) от численности работающих х1 (чел.) и площади подсобных помещений х2 (кв.м). Результаты исследований по n = 8 магазинам представлены в следующей таблице: Ж1 31 34 35 41 38 32 29 34 Х2 29.5 14.2 18.0 21.3 47.5 10.0 21.0 36.5 У 22.0 14.0 23.0 43.0 66.0 7.6 12.0 36.0 y

x1 x2

5%

выполнены все предположения МНК относительно случайных ошибок наблюдений Є = Уі — 60 — 61 Х1І — 62 Х2І, 1 < i < 8 (их проверять не нужно).

Для решения поставленной задачи вычислим промежуточные величины, используемые в формулах раздела 1.2.3. Используя данные из таблицы, получаем, что

8 8 8 ^ Х1і = 274, ^ Х2ї = 198, ^ y = 223.6,

i=1 i=1 i=1

8 8 8

^ x2, = 9488, ^ x2, = 5979.08, ^ y2 = 8911.76,

i=1 i=1 i=1 8 8 8 ?(xu x2i) = 6875.6, yi) = 8049.2, ^(x^ yi) = 6954.7.

i=1 i=1 i=1

Отсюда по формулам (22) находим, что

60 = —94.55, 61 = 2.80, 62 = 1.07.

Применяя формулу (31), проверим гипотезу H0 о не значимости линейной модели.

Получаем, что F = 151.7, а критическое значение распределения Фишера при f1 = 2

и f2 = 5 степенях свободы равно F0 05 = 5.79. Поскольку выполнено неравенетво F > F0.05, то гипотезу H0 отвергаем и линейную зависимоеть между у и объясняющими переменными ж1; x2 считаем значимой.

Построим далее доверительные интервалы для параметров b1, b2 и установим влияние каждой переменной x1 и x2 на у. По формулам (27), (32) находим, что

11 = (2.03, 3.57) 12 = (0.83, 1.31), причем оба интервала не содержат число ноль. В

у

можно находить по приближенной формуле: у ~ —94.55 + 2.80 x1 + 1.07x2. Из этой формулы следует, что вклад в товарооборот каждого работающего примерно в два раза больше, чем одного квадратного метра подсобных помещений.

<< | >>
Источник: Н. В. ПЕРЦЕВ. ЛЕКЦИИ по эконометрике Часть II. Вычислительные аспекты. 2003

Еще по теме 1.4. ПРИМЕРЫ:

  1. Пример сделки, заведомо противной основам правопорядка, приводится в Указе Президента РФ от 17
  2. Пеня - это неустойка, применяемая при длящихся нарушениях, к примеру при просрочке сдачи объекта
  3. Специальные сроки могут быть более (к примеру в десять лет по государственным долговым товарным обязательствам) и менее длительными
  4. П. Идеальные объекты исключительных прав нередко не нуждаются даже в простейшем их описании в договоре, поскольку, к примеру,
  5. Более того, чтобы, к примеру, передать в эфир или по кабелю постановку спектакля, вещательная организация должна получить
  6. Примерами товарных знаков могут служить "Волга" и "Жигули" (для легковых автомобилей), "ЗИЛ" и "Бирюса" (для
  7. Это, к примеру, многие представители правой части нормальной кривой.
  8. Это может осуществляться в связи с занимаемым постом или должностью (яркий пример - слово
  9. Старообрядцы на собственном примере показали, какие плюсы может внести в экономическую жизнь умелое
  10. Это так же совместные вклады (к примеру, 50 на 50%) предприятия и конкретных сотрудников в пенсионные фонды, средства из