Как можно сэкономить время

Сокращение часов на изучение математики в школе побудило меня искать более рациональные способы решения многих типов задач, вывод новых формул, позволяющих решать задачи более коротким путем.

В арифметической прогрессии а8=130, ai2=166. Найти формулу п-ого члена.

Решение (е учебнике):

Используя формулу an= ai+(n-l)d, находим а8== ai+7d, ai2= =ai+lld. Подставив данные значения as и ai2, получим систему уравнений относительно ai и d:

Jai+7d=130,

ld=166. (1) Вычитая из второго уравнения первое, получим 4d=36, d=9

ит. д.

Для нахождения d пришлось решать систему уравнений (1). Записав эту систему так: ai+7d=as, ai+lld= an

и проделав то же самое, получим: ai2 - a8=4d или ai2= a8+4d, подметив, что 8+4=12, приходим к формуле

am= an+(m-n)d, (2)

которая позволяет найти d в задаче 4 более простым путем.

Наше решение: ai?= a8+4d, 4d= ai2- a8, т. к. ai2=166, a8=130, то 4d= 36, d=4.

Аналогичную формулу вывели и для геометрической прогрессии:

bm=bn*gm-n,bn*0,g^0, (3)

которая позволяет решить задачу 4* из § 30 более простым путем.

В геометрической прогрессии Ьб=96, Ь8=384. Найти формулу п-ого члена.

b8= b6*g2; g2= b8/ b6; g2= 384/ 96; g2= 4; т. e. g=±2 и т. д. Если из формул (2) и (3) выразить d и g , то получатся формулы, которые легко можно запомнить и сразу применить их при решении разобранных задач:

d=(am-an)/(m-n) (4)

и

gm"n=bm/bn; (5)

т. е. d= (а12- а8)/4 и g2= Ь8/ Ь6.

При изучении темы «Логарифмы» в тексте § 15 (Ш.А. Алимов, 10 кл.) решается задача 3. Вычислить log64l28. В учебнике эта задача решается так:

Обозначим log64128=x.

После изучения свойств логарифма logaBp=plogaB, где в>0, а>0, а,Ф\, peR.

(*) logy B=l/rlogaB, а>0, аФІ, в>0, гФІ.

Возвращаемся к этой задаче и решаем ее так: log64128=log , 27=7/6 log22=7/6; приходим к формуле

гр

loga, ap=p/r, а>0, аФІ, peR, ГФО, (6)

которая легко доказывается с использованием свойств (*). Каждую формулу учу видеть слева направо и справа налево, например: logaBp=plogaB, то plogaB= logaBp.

Кроме формулы (6), рассматриваем еще формулы, некоторых из них нет в учебнике:

loga, Bp=p/rlog ав, в>0, а>0, аФІ, meR, пФО, (7)

logaap=p, тогдар= logaap, а>0, аФІ, peR, (8)

logaB= logcB/ logca, то logcB/ logca= logaB, c>0,c^l, a>0, a^l, в>0, (9)

logaB=l/ logBa, тогда 1/ logBa= logaB и logaB* logBa=l, a>0, a^l, в>0, в*1, (10)

log Bn= logaB, тогда logaB=log вп, a>0, a^l, в>0, n^l, (11)

an a11

aA( logcB)=BA( logca) a>0, a* 1, в>0, вФ 1, c>0, ct 1, (12)

которая легко доказывается логарифмированием обеих частей по основанию с.

ПРИМЕРЫ:

Вычислить 2 log23/ log49=2 log23/ log 1 32=21og23/log23=2

2

Решить уравнение log3x=91og278-3 log34 log3X=91og32-31og34

log3x=91og32-61og32

log3x=31og32

log3x=log38

x=8

3. log4x-logi6x=l/4; x>0

log 16x2-log 16x= 1 /4; log16x=l/4; x= 161/4=2.

Задания для самостоятельной работы

Предложите более рациональные способы решения известных вам задач.

Можно ли экономить учебное время за счет рационали-зации решения задач на уроках химии, физики, биологии, истории?

В чем смысл экономии учебного времени, как можно использовать сэкономленное время?

Г.Е. Гурова