П.3. Истинные и ложные равновесия
Стабильные информационные равновесия будем разделять на два класса - истинные и ложные равновесия. Определение предварим примером.Пример П.2. Рассмотрим игру, в которой участвуют три агента с целевыми функциями
X (X1 + X2 + X3)
fi (ri, X1, X2 , X3 ) _ Xi
r
где x, > 0, i е N = {1, 2, 3}.
Целевые функции являются общим знанием с точностью до типов агентов - параметров r, > 0. Вектор r = (r1, r2, ..., rn) типов агентов может интерпретироваться как состояние природы. При этом здесь и далее подразумевается, что свой собственный тип известен каждому агенту достоверно.Граф рефлексивной игры имеет вид, изображенный на Рис. 33, при этом r2 = r3 = r, r21 = r23 = r31 = r32 = c. Общим знанием является следующее: каждый игрок знает свой тип и наблюдает сумму действий оппонентов.
![Рис. 33. Граф рефлексивной игры в примере П.2]()
Рис. 33. Граф рефлексивной игры в примере П.2
Нетрудно вычислить единственное информационное равновесие этой игры: (1) X2 = X3 = (3 r - 2 с) / 4,
X21 = X23 = X31 = X32 = (2 c - r) / 4, x1 = (2 r1 - 3 r + 2 с) / 4. Условия стабильности (см. выражение (5) предыдущего раздела) в данном случае выглядят следующим образом:
X21 + x23 = X1 + x3, X31 + x32 = X1 + x2.
Условия записаны для 2- и 3-агентов, поскольку для 1-, 21-, 23-, 31-, 32-агентов они тривиальны.
Подставляя (1) в (2), получаем, что необходимым и достаточным условием стабильности является равенство
2 с = r1 + r.
Пусть условие (3) выполнено. Тогда равновесные действия реальных агентов таковы:
X2 = X3 = (3 r - rO / 4, X1 = (3 r1 - 2 r) / 4.
Предположим теперь, что типы агентов стали общим знанием (см. Рис. 34).
![Рис.<div class=]()
34. Общее знание в примере П.2" /> Рис. 34. Общее знание в примере П.2
Нетрудно убедиться, что в случае общего знания единственным равновесием будет (4).
Таким образом, при выполнении условия (3) имеет место несколько парадоксальная ситуация. Представления второго и третьего агентов не соответствуют действительности (см. Рис. 33), однако их равновесные действия (4) в точности такие, как были бы в случае одинаковой информированности (см. Рис. 34). Такое стабильное информационное равновесие называется истинным. •
Пусть набор действий xt-, ti eS+, является стабильным информационным равновесием. Будем называть его истинным равновесием, если набор (x1, ..., xn) является равновесием в условиях общего знания о состоянии природы 0 (или о наборе (r1, ..., rn) типов агентов).
Из приведенного определения, в частности, следует, что в условиях общего знания любое информационное равновесие является истинным. Рассмотрим еще один случай, когда этот факт имеет место.
Утверждение П.2. [77]. Пусть целевые функции агентов имеют
вид
f (r,, xb ..., xn) = j (r,, x,, Zi(x-i)), а функции наблюдения - вид w^e, x) = zi(x-i), i e N. Содержательно это означает следующее: выигрыш каждого агента зависит от его типа, его действия и функции наблюдения, зависящей от действий остальных агентов (но не от их типов).
Тогда любое стабильное равновесие является истинным.
Стабильное информационное равновесие, не являющееся истинным, назовем ложным.
Таким образом, ложное равновесие - это такое стабильное информационное равновесие, которое не является равновесием в случае одинаковой информированности агентов (в условиях общего знания).
Пример П.3. Пусть в рефлексивной биматричной игре, где W = {1, 2}, выигрыши заданы биматрицами (агент 1 выбирает строку, агент 2 - столбец, то есть X1 = X2 = {1; 2}), приведенными на Рис. 35.
в = 1 в = 2 ' (2,2) (4,1) ^ Г (2,2) (0,3) ^
v (1,4) (3,3) J [ (3,0) (1,1) ^ Рис. 35. Матрицы выигрышей в примере П.3
Пусть, далее, в реальности в = 2, однако оба агента считают общим знанием в = 1. Каждый агент наблюдает пару (x1, x2), которая и является функцией наблюдения.
Информационным равновесием является выбор каждым агентом действия 1. Если бы общим знанием было бы реальное состояние природы, равновесным был бы выбор каждым агентом действия 2. Таким образом, выигрыши агентов в информационном равновесии оказываются большими, чем если бы общим знанием было реальное состояние природы. •
