Полезность
Ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятностей исходов на значения полезностей этих исходов. Полезность гарантированной суммы определяется как среднее значение (математическое ожидание) полезностей наименьшей и наибольшей сумм, т.е.
U(v)=poU(S)+(1-po)U(s),
где U(v) - полезность гарантированной суммы;
p0 - вероятность получения наибольшей денежной суммы S;
(1-p0) - вероятность получения наименьшей денежной суммы s.
Лицо, принимающее решение, всегда будет стремиться к максимизации ожидаемой полезности.
В связи с этим выделяются типы функций полезности Неймана- Моргенштерна для лица, принимающего решения:
не склонного к риску - U(pS + (1-p)s) > pU(S) + (1-p)U(s) - неравенство показывает, что полезность среднего выигрыша (полезность ожидаемой денежной оценки - ОДО) больше ожидаемой полезности игры: с вероятностью р выиграть S и с вероятностью (1- р) выиграть s;
безразличного (нейтрального) к риску - U(pS + (1-p)s) < pU(S) + (1-p)U(s);
склонного к риску - U(pS + (1-p)s) = pU(S) + (1-p)U(s).
Склонность или несклонность лица, принимающего решения к риску, как уже отмечалось, зависит от его финансового положения, текущей ситуации принятия решения и других факторов. Иначе говоря, эта характеристика лица, принимающего решение, не является абсолютной, присущей ему при любых обстоятельствах.
Функция полезности определена как U(S)=ln(S) (или U(s)=ln(s)), где S,s - величины благосостояния.
Рассмотрим применение функции полезности на следующем примере. Требуется определить полезность страхования с точки зрения сохранения капитала.
Для владельца имущества стоимостью 100 усл.ед. существует некоторая вероятность кражи этого имущества, при этом действия владельца по поводу данного риска предусматривают его страхование или не страхование. Итак, конечные ситуации:наступление риска - кража;
отсутствие риска - нет кражи.
На основании этого имеем следующую матрицу выигрышей (стоимости капитала). ' П1 П2 1 А = А1 а1 а 2 ЧА 2 в1 в 2 , Таблица 2.3
кража нет кражи страховка а1 а2 нет страховки в1 в2 Стоимость страховки равна 20% от страховой суммы. Максимальная сумма страхования равна стоимости капитала. а1=К-К-0,28+8=100-100-20+100=80 ед. а2=К-0,28=100-20=80 ед. в1=К-К=100-100=0 ед. в2=К=100 ед.
Вероятность кражи - 0,2. Вероятность не кражи - 0,8. ОДО при страховании а1=0,2*80+0,8*80=80 ед. ОДО при отсутствии страхования а2=0,2*0+0,8*100=80 ед. Таким образом, ОДО равна при любых исходах и при наличии страховки и при ее отсутствии.
Рассчитаем полезность события (страховки или отсутствия страховки), данные логарифмической функции приведены в таблице 2.4:
28
а1=0,2*!п80+0,8*!п80=4,381 т.е. полезность страховки 4,4 ютиля . а2=0,2*!п0+0,8*!п100=3,682, т.е. полезность нестрахования составляет 3,7 ютиля.
Таблица 2.4
Фрагмент таблицы натуральных логарифмов S,s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ln (S,s) 0,7 1,1 1,4 1,61 1,8 1,9 2,0 2,2 2,3
Вывод: для владельца имущества целесообразно заключить договор его страхования.