Задать вопрос юристу

2.4.7. Интерпретация формул логики предикатов

Формулы логики высказываний всегда можно рассматривать как высказывательные формы с высказывательными переменными либо как высказывания. Формулы логики предикатов становятся высказывательными формами с предметными переменными или высказываниями, если задать непустое множество М значений, которые можно приписывать предметным переменным, входящим в формулу, а каждому n-местному предикатному символу поставить в соответствие n-местный предикат, определенный на множестве М (причем двум различным n-местным предикатным символам с одинаковыми предикатными буквами ставится в соответствие один и тот же предикат); нуль-местным предикатным символам независимо от выбора множества М приписывается нуль-местный предикат, т.е. одно из значений истинности {И, Л}.

Если формула не содержит свободных предметных переменных, то, задав множество М и приписав предикатным символам конкретные предикаты, мы получим высказывание (точнее говоря, значение истинности). Если же в формуле есть свободные вхождения предметных переменных, то получим высказывательную форму от этих переменных, которая станет высказыванием, если подставить вместо свободных вхождений переменных элементы множества М.

Обращение формулы в высказывание описанным выше способом будем называть интерпретацией этой формулы.

Интерпретация замкнутой формулы состоит из следующих шагов: задается множество М; каждой предикатной букве, входящей в n-местный предикатный символ ставится в соответствие n-местный предикат, определенный на множестве М; каждому нуль-местному предикатному символу приписывается одно из значений истинности.

Если формула – открытая, то добавляется еще один шаг: каждому свободному вхождению переменной ставится в соответствие элемент множества М.

Пример 63.

Дать интерпретацию формуле $y "x P(x, y) ® (Q(x) Ù R).

Решение.

Данная формула $y "x P(x, y) ® (Q(x) Ù R) является открытой, следовательно интерпретация будет состоять из четырех шагов: Пусть М = {1, 2}. Предикатной букве Р поставим в соответствие двуместный предикат, заданный таблицей (табл. 65):

Таблица 65

(1; 1) (1; 2) (2; 1) (2; 2)
и л и л

а предикатной букве Q – предикат, принимающий следующие значения:

1 2
и л
Предикатному символу R припишем значение и. Свободному вхождению переменной х припишем значение 1.

При такой интерпретации данная формула обращается в истинное высказывание.

В самом деле, посылка данной импликации принимает значение и, так как, согласно таблице Р, высказывание Р(1; 1) и Р(2; 1) – истинные, т.е. существует значение у (равное 1) такое, что при всяком значении х (равном 1 или 2) Р(х; у) истинно. Заключение также принимает значение и, так как Q(1) и R истинны.

Если же, например, переменной х приписать значение 2, либо символу R – значение л, либо букве Q – предикат «быть четным числом», оставляя все остальное без изменения, то всякий раз данная формула будет получать значение л.

<< | >>
Источник: Лекции - Дискретная математика. 2016

Еще по теме 2.4.7. Интерпретация формул логики предикатов:

  1. 2.4.8. Классификация формул логики предикатов
  2. 2.4.9. Равносильность формул логики предикатов
  3. 2.4.6. Формулы логики предикатов
  4. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
  5. 2.1. Интерпретация формул
  6. Глава 7. Начала логики предикатов
  7. Теория моделей классической логики предикатов
  8. Тема 3. Логика и исчисление предикатов
  9. Теория доказательств классической логики предикатов
  10. Выражение силлогистики средствами логики предикатов