<<
>>

2. Связь хаоса и неустойчивости. Непредсказуемость в детерминированных системах



              Среди общенаучных и философских вопросов, связанных с проблемой детерминированного хаоса, наиболее исследованным в настоящее время является вопрос о том, почему в детерминированных системах возникают непредсказуемые движения.
Впервые о существовании непредсказуемых движений в детерминированных системах написал Анри Пуанкаре в своей работе "Наука и метод":  "…иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным…"   Подробно этот же вопрос исследовался в работах, посвященных обоснованию статистической физики и классической механики, независимо М. Борном и Н.С. Крыловым [26 - 28]. Именно в этих работах впервые была рассмотрена связь непредсказуемости движения с его неустойчивостью.
              В самом деле, первый вопрос, который возникает при изучении явления детерминированного хаоса: откуда в системе, описываемой детерминированными уравнениями, существование и единственность решений которой гарантируется известной теоремой Коши, при малом числе степеней свободы и отсутствии случайных сил возникают нерегулярные, непредсказуемые движения? Не существует ли здесь противоречия, не являются ли хаотические движения плодом наших ошибок, нашего неумения решать сложные уравнения?
              Крылов и Борн показали, что хаотичность движения детерминированных систем вызвана неустойчивостью всех или почти всех  движений таких систем.  Неустойчивость означает, что любое, самое малое изменение начального состояния, может привести к сколь угодно большому изменению движения. Во всех реальных системах начальные состояния задаются с конечной, а не с бесконечной точностью, т.е. посредством некоторого множества, а не числа. При этом более поздние состояния системы, в которой существует неустойчивость,  в зависимости от выбора начальных условий могут иметь разный вид из-за сильного различия невозмущенной и возмущенной траекторий. В этом случае исследователь по виду исходного движения не может прогнозировать движение этой же системы при других, даже очень мало отличающихся начальных условиях. Состояние системы становится непредсказуемым , несмотря на полное знание закона движения.
              При объяснении природы непредсказуемости  динамики нелинейных систем вот уже в течении четверти века ссылаются именно на работы Борна и Крылова. Они настолько просты и красивы, что вполне удовлетворяют всех при обсуждении этого вопроса, они настолько эталонны, что их не пытаются дополнить или углубить. Несмотря на огромное значение этих работ для понимания природы непредсказуемости движения вообще, следует вспомнить, что они написаны до открытия детерминированного хаоса, и речь в них идет о несколько других ситуациях. Более поздние результаты исследования нелинейной динамики самых разных систем показали, что помимо неустойчивости  хаотизация движения, а стало быть и его непредсказуемость, зависит и от ряда других причин. Ниже мы покажем, что непредсказуемость хаотической динамики тесно связана с такими особенностями нелинейных систем, как мультистабильность и фрактальность границ бассейнов притяжения.

              Все определяет нелинейность. Для того, чтобы динамика диссипативной системы стала хаотической, т.е. для того, чтобы в ее фазовом пространстве возник странный аттрактор, необходимо , чтобы фазовые траектории не только были неустойчивыми, но и оставались в ограниченной области фазового пространства. Это обеспечивает именно нелинейность. Именно нелинейность является тем ограничителем, которая не дает фазовым траекториям "убегать" на бесконечность. Чтобы осознать это, вспомнив известную многим картину линейного резонанса: резонансная кривая оказывается незамкнутой и асимптотически уходит на бесконечность в окрестности резонансной частоты. Теоретически амплитуда линейных колебаний в случае резонанса должна становиться бесконечно большой.  Представим себе дерево, раскачиваемое ветром. Если частота порывов ветра совпадет с собственной частотой колебаний дерева, последнее, согласно линейной теории, неизбежно сломается, даже если сила ветра невелика. На самом деле деревья ломаются только при очень сильном ветре, потому что природа снабдила все свои творения тем же самым ограничителем - нелинейностью. Теория линейного резонанса, такая простая и стройная, на самом деле не описывает реальных ситуаций. В очередной раз становится понятным, почему хаотические режимы в простых системах были обнаружены сравнительно недавно. Принципиальные трудности, стоящие на пути решения любого нелинейного уравнения и несовершенство математических методов, как правило, заставляло исследователей  сводить сложные нелинейные уравнения к простым и красивым линейным, т.е. проводить их линеаризацию. Методы решения линейных уравнений хорошо изучены и позволяют легко получить решения, которые являются регулярными и полностью предсказуемыми. Однако, неправильно пользуясь этим методом, можно  "с водой  выплеснуть и ребенка" - линеаризация  допустима при малых значениях параметров системы и  полностью меняет характер движения при больших. В результате  дерево может сломать даже легкий ветерок. С этой точки зрения нелинейные физические системы в рамках аналитических методов должны изучаться и  изучались лишь при малых значениях параметров, когда линеаризация правомерна. Лишь успехи компьютерной технологии позволили решать сложные нелинейные уравнения в широкой области параметров и сразу выявили хаотические режимы, которые, как выяснилось, во многих системах встречаются чаще, чем периодические.
              Успехи нелинейной теории колебаний позволяют дополнить и несколько видоизменить представление Борна и Крылова относительно роли неустойчивости в хаотизации движения. Борн и Крылов рассматривали квазилинейные режимы и исследовали так называемый “пучок “ траекторий, реализация которых зависит от выбора начальных условий. Их объяснение непредсказуемости схематически можно записать в виде следующей формулы:

непредсказуемость = неустойчивость + неточность задания начальных условий

                Эта формула правильная, но описывает самый простой из всех возможных случаев, когда нелинейность слабая. Большинство же рассматриваемых с точки зрения хаотической динамики систем являются сильно нелинейными и отличаются тем, что в них при одних и тех же параметрах могут сосуществовать разные движения, которые могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми, т.е. являются мультистабильными. Благодаря существованию в нелинейных системах множества движений неустойчивость не только вызывает отклонение движения от невозмущенного при малом изменении начальных условий, но и обеспечивает переходы от одного аттрактора к другому, происходящие по случайному закону. Такое блуждание между аттракторами представляет собой совершенно хаотичное движение. Хаотические режимы подобного типа, непредсказуемость которых определяется не только неустойчивостью, но и мультистабильностью, являются весьма распространенными в нелинейных системах. В этом случае формула для непредсказуемости  движения усложнится:
              непредсказуемость = неустойчивость + неточность задания начальных условий + мультистабильность

              Отдельно с точки зрения предсказуемости динамики нелинейных систем следует рассмотреть случай, когда границы бассейнов притяжения различных аттракторов, сосуществующих в фазовом пространстве, являются фрактальными. Фрактальность границ областей притяжения означает еще более сильную  зависимость от начальных условий. Поясним, как это происходит. Если границы гладкие, то, задавая начальные условия, мы попадаем в зону притяжения конкретного аттрактора, и малое изменение начальных условий не приведет к выходу  фазовой  траектории на другой аттрактор. Если же границы фрактальные, то они так изрезаны, имеют такую сложную структуру, что, выбирая начальные условия, мы заранее не можем с уверенностью сказать, в зону притяжения какого аттрактора попадет фазовая траектория. Даже в случае, когда в системе существует только пара периодических режимов, разделенных фрактальными границами, уже возникает непредсказуемость, так как неизвестно, к какому аттрактору будет стремиться фазовая траектория. В  случае, когда один из аттракторов хаотический, мы имеем дело с двумя уровнями непредсказуемости: сначала из-за фрактальности границ, а затем из-за неустойчивости индивидуальных траекторий внутри странного аттрактора. Эту ситуацию образно хочется назвать "непредсказуемостью в квадрате".
В этом случае движение станет еще более непредсказуемым, а исходная формула примет вид:

              непредсказуемость = неустойчивость + неточность задания начальных условий + мультистабильность + фрактальностьграниц.
              Эти условные формулы позволяют нам понять, что непредсказуемость в нелинейных системах не только существует, но и различается по своей "величине", может быть более сильной и менее сильной. Если величины, стоящие в правых частях неотрицательные (а это именно так), то в последнем случае непредсказуемость оказывается самой большой. Введя некоторый критерий, мы можем говорить о степени непредсказуемости движения. А это означает, что она перестает нас удивлять, мы привыкаем к ней и  даже пытаемся ее измерить.
              Следует отметить, что установившееся сложное хаотическое поведение детерминированной системы с неустойчивыми индивидуальными траекториями никак не зависит от неточности задания начальных условий, а определяется  только свойствами самой системы, т.е. ее уравнениями, а сама неточность задания, флуктуации лишь приводит в действие механизм неустойчивости. В этом смысле рассматриваемые детерминированные системы являются не усилителями шума, а собственно генераторами хаоса.
              Непредсказуемость движения означает не принципиальную невозможность определить характер движения, а неумение определить точные координаты точки в хаотическом режиме в произвольный момент времени. В среднем установившееся движение такой системы  вполне предсказуемо, мы можем вычислить его статистические характеристики, предсказать координаты и скорость внутри некоторого вероятностного распределения. Поясним это подробнее. Если нам известны уравнения динамики некоторой нелинейной диссипативной системы, заданы ее параметры и начальные условия, мы можем узнать характер ее движения. Малое изменение начальных условий и параметров позволяет нам, как правило, надеяться, что характер движения сохранится. То есть, если движение было хаотическим, то при незначительном изменении параметров или начальных условий мы можем надеяться, что оно таким и останется. И мы будем знать средние характеристики такого движения. Но траектории возмущенного и невозмущенного движений могут различаться по виду, и притом существенно. Более того, если мы собираемся следить за одной-единственной траекторией в течение долгого времени, то зная, как она выглядит в настоящий момент, мы не можем точно сказать, как она будет выглядеть некоторое время спустя. Если вспомнить, что динамические системы описывают реальные системы любой природы, а траектория движения на самом деле является изображением некоего процесса развития во времени (скажем, фазовая координата соответствует численности популяции кроликов  в некоторый год), то становится понятным, как опрометчиво мы поступаем, пытаясь делать сколько-нибудь точные прогнозы на будущее. Единственное, о чем мы с уверенностью можем говорить,  так это о том, что процесс этот будет очень сложным образом   зависеть от параметров системы: при некоторых их значениях он может быть периодическим, при некоторых – хаотическим. Если мы провели полное исследование динамики системы и построили бифуркационную диаграмму, то мы довольно точно сможем предсказывать, при каких значениях параметров будет наблюдаться тот или иной режим, и средние характеристики наблюдаемых режимов. Однако если выяснится, что при данном состоянии среды популяция кроликов увеличивается хаотически, то мы не сумеем определить, какой ее численность будет даже через сравнительно небольшое время.
              Непредсказуемость поведения отдельных траекторий, выбранных заданием начальных условий со сколь угодно высокой, но конечной точностью, служит принципиальным препятствием на пути долгосрочных невероятностных прогнозов. Применительно к метеорологии Э. Лоренц назвал этот эффект непредсказуемости “баттерфляй- эффектом”: пусть атмосфера описывается системой с хаотическим поведением, тогда даже незначительное изменение начальных условий, вызванное взмахами крылышек бабочки может привести к катастрофическим для долгосрочных прогнозов погоды последствиям.
              Подведем некоторые итоги. Со времен Пуанкаре и Борна, представления о нелинейной динамики сильно усложнились, что повлекло за собой изменения и в понимании причин непредсказуемости  движения. Если раньше непредсказуемость таких движений однозначно связывалась только с неустойчивостью, то теперь становится понятным, что непредсказуемость движений в нелинейных системах может быть обусловлена,  по крайней мере, тремя причинами: 1) неустойчивостью всех или почти всех движений и неоднозначностью задания начальных условий; 2) мультистабильностью; 3) фрактальностью границ бассейнов притяжения и бифуркационных диаграмм.
              Все это существенно затрудняет возможность точных прогнозов нелинейных динамических процессов, зато обеспечивает понимание того, насколько эти процессы сложны и многообразны.

<< | >>
Источник: В.В. Афанасьева. К ФИЛОСОФСКОМУ ОБОСНОВАНИЮ ФЕНОМЕНА ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА 2010. 2010

Еще по теме 2. Связь хаоса и неустойчивости. Непредсказуемость в детерминированных системах:

  1. Глава IМЕНТАЛИТЕТ КАК СИСТЕМА СОЦИОКУЛЬТУРНЫХ УСТАНОВОК
  2. 3.2. ОБЩЕНАУЧНЫЕ И ФИЛОСОФСКИЕ ОСНОВАНИЯ КОНЦЕПЦИИ САМООРГАНИЗАЦИИ
  3. Бифуркационная модель развития
  4. 1. Хаос: от интуитивных представлений до математического описания
  5. 2. Связь хаоса и неустойчивости. Непредсказуемость в детерминированных системах
  6. 5. Парадокс упорядоченного хаоса
  7. 6. Еще раз о детерминизме. Динамическая и статистическая закономерности
  8. 7. Диалектика хаотического
  9. 11.4. Имманентное и трансцендентное в представлениях о Хаосе
  10. Ответственность позиции и целостность теории.
  11. 4. Рост научного знания